Vectors ortogonals i unitaris

Calculeu els dos vectors unitaris ortogonals a $\vec{a} = (-2, -2, 3)$ i $\vec{b} = (3, -3, 2)$.

Els vectors ortogonals venen donats pel producte creuat entre $\vec{a}$ i $\vec{b}$. El resultat del respectiu producte creuat es normalitza i s’obté un vector ortogonal unitari.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-2 & -2 & 3 \\
3 & -3 & 2
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
-3 & 2
\end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix}
-2 & 3 \\
3 & 2
\end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix}
-2 & -2 \\
3 & -3
\end{vmatrix} \vec{k}$$

$$\vec{a} \times \vec{b} = 5\vec{i} + 5\vec{j} – 0\vec{k} = 5\vec{i} + 5\vec{j}$$

Utilitzem la propietat del producte creuat

$$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$$

Llavors,

$$\vec{b} \times \vec{a} = -5\vec{i} – 5\vec{j}$$

I la norma de tots dos productes creuats:

$$|\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$$

Finalment, obtenim els dos vectors ortogonals unitaris demanats i els anomenem $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

$$\vec{u} = \left(\frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$$

$$\vec{v} = \left(-\frac{5}{5\sqrt{2}}, -\frac{5}{5\sqrt{2}}, 0\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$$