Càlcul de l’àrea d’un triangle a partir del producte vectorial

Considera el triangle els vèrtexs del qual són els punts $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 2)$, $C(0, 2, 1)$. Troba l’àrea d’aquest triangle.

L’àrea d’un triangle en l’espai 3D es pot calcular com la meitat del mòdul del producte vectorial dels vectors que formen dos costats del triangle. Primer, calculem els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$:

• $\overrightarrow{AB} = B – A = (1, 0, 2) – (1, 1, 0) = (0, -1, 2)$
• $\overrightarrow{AC} = C – A = (0, 2, 1) – (1, 1, 0) = (-1, 1, 1)$

Ara, calculem el producte vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -1 & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$$

• Component $\mathbf{i}$: $(-1) \cdot 1 – 2 \cdot 1 = -1 – 2 = -3$
• Component $\mathbf{j}$: $-(0 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) = -(0 + 2) = -(-2) = 2$
• Component $\mathbf{k}$: $0 \cdot 1 – (-1) \cdot (-1) = 0 – 1 = -1$

Així:
$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-3, 2, -1)$$

El mòdul d’aquest vector és:
$$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$

L’àrea del triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial:
$$\text{Àrea} = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{14}}{2}$$

Resposta final:

L’àrea del triangle és $\frac{\sqrt{14}}{2}$ unitats quadrades.