Ortogonalitat dels vectors

Considera els vectors $\vec{u} = (-1, 2, 3)$, $\vec{v} = (2, 0, -1)$, així com el punt $A(-4, 4, 7)$. Calcula $a$) i $b$ per a que el vector $\vec{w} = (1, a, b)$ sigui ortogonal a $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Si $\vec{w}$ és ortogonal a $\vec{u}$ i $\vec{v}$, el producte escalar de $\vec{w}$ amb $\vec{u}$ i $\vec{v}$ és zero.

• $\vec{w} \cdot \vec{u} = (1, a, b) \cdot (-1, 2, 3) = -1 + 2a + 3b = 0 \Rightarrow 2a + 3b = 1$
• $\vec{w} \cdot \vec{v} = (1, a, b) \cdot (2, 0, -1) = 2 – b = 0 \Rightarrow b = 2$

$$\Rightarrow \begin{cases}
2a + 3b = 1 \\
b = 2
\end{cases} \Rightarrow 2a + 3 \cdot 2 = 1 \Rightarrow 2a + 6 = 1 \Rightarrow 2a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$$

$$\vec{w} = \left(1, -\frac{5}{2}, 2\right)$$