Càlcul del volum d’un tetraedre

Troba els valors de $m$ per a que el tetraedre determinat pels punts $O$, $A$, $B$ i $C$ tingui un volum de 3 unitats cúbiques. Siguin els punts $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, -2)$, $B(1, 2, m)$ i $C(2, 3, 2)$.

El volum d’un tetraedre determinat per tres vectors $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ i $\overrightarrow{OC}$ és un sextó del producte mixt, en valor absolut:

$$\text{Volum} = \frac{|\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}|}{6}$$

$$\overrightarrow{OA} = A – O = (0, 2, -2), \quad \overrightarrow{OB} = B – O = (1, 2, m), \quad \overrightarrow{OC} = C – O = (2, 3, 2)$$

$$\text{Volum} = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix}
0 & 2 & -2 \\
1 & 2 & m \\
2 & 3 & 2
\end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} \left| 4m – 0 + 6 – 8 – 4 \right| = \frac{|4m – 2|}{6}$$

Com ens demanen que el volum sigui 3, tenim:

$$\frac{|4m – 2|}{6} = 3 \Rightarrow |4m – 2| = 18$$

$$\Rightarrow \begin{cases}
(4m – 2) = 18 \Rightarrow 4m = 20 \Rightarrow m = 5 \\
-(4m – 2) = 18 \Rightarrow -4m + 2 = 18 \Rightarrow -4m = 16 \Rightarrow m = -4
\end{cases}$$