Resolució d’Exercicis de Geometria Vectorial

Considera els vectors $\vec{u} = (1, 0, 1)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$, $\vec{w} = (m, 1, n)$. a) Troba $m$ i $n$ sabent que $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són linealment dependents i que $\vec{w}$ és ortogonal a $\vec{u}$. b) Per a $n = 1$, troba els valors de $m$ perquè el tetraedre determinat per $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tingui un volum de $10$ unitats cúbiques.

a) Troba $m$ i $n$ sabent que $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són linealment dependents i que $\vec{w}$ és ortogonal a $\vec{u}$.

$\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ són linealment dependents si, i només si, $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$

$$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
m & 1 & n
\end{vmatrix} = 2n – 2m – 1 = 2 \cdot (n – m) – 1$$

$$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (n – m) – 1 = 0 \Leftrightarrow n – m = \frac{1}{2}$$

$\vec{w}$ és ortogonal a $\vec{u}$ si el seu producte escalar és $0$.

$$\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow (1, 0, 1) \cdot (m, 1, n) = m + n = 0$$

$$\left\{
\begin{array}{l}
n – m = \frac{1}{2} \\
m + n = 0
\end{array}
\right\} \Rightarrow 2n = \frac{1}{2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} \Rightarrow m = -\frac{1}{4}$$

b) Per a $n = 1$, halla els valors de $m$ perquè el tetraedre determinat per $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tingui un volum de 10 unitats cúbiques.

El volum del tetraedre format pels vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ és $\frac{|\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}|}{6}$.

El producte mixt, $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$

$$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 2 & 1 \\
m & 1 & n
\end{vmatrix} = (1, m, -2m)$$

$$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (1, 0, 1) \cdot (1, m, -2m) = 1 – 2m$$

Volum del tetraedre $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \frac{|\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}|}{6} = \frac{|1 – 2m|}{6} = 10$

$$\Rightarrow |1 – 2m| = 60$$

$$\Rightarrow \begin{cases}
1 – 2m = 60 \Rightarrow -2m = 59 \Rightarrow m = -\frac{59}{2} \\
1 – 2m = -60 \Rightarrow -2m = -61 \Rightarrow m = \frac{61}{2}
\end{cases}$$