Trobar valor paràmetre per a que 3 punts siguin coplanaris

En un triedre cartesià $OXYZ$, es consideren els punts $A(-2, 1, 1)$, $B(0, 3, 1)$ i $C(-1, q, 2)$. Quin és el valor de $q$ si els vectors $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ són coplanaris?

Els vectors són coplanaris si el producte mixt (producte escalar del producte creuat) entre ells és zero. Calculem els vectors:

• $\overrightarrow{OA} = A – O = (-2, 1, 1) – (0, 0, 0) = (-2, 1, 1)$
• $\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 3, 1) – (-2, 1, 1) = (0 – (-2), 3 – 1, 1 – 1) = (2, 2, 0)$
• $\overrightarrow{BC} = C – B = (-1, q, 2) – (0, 3, 1) = (-1 – 0, q – 3, 2 – 1) = (-1, q – 3, 1)$

Els vectors són coplanaris si:
$$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}) = 0$$

Calculem el producte creuat $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$:

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 2 & 0 \\
-1 & q – 3 & 1
\end{vmatrix}$$

$$= \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 0 \ q – 3 & 1 \end{vmatrix} – \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \ -1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 2 \ -1 & q – 3 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i} [(2 \cdot 1) – (0 \cdot (q – 3))] – \vec{j} [(2 \cdot 1) – (0 \cdot (-1))] + \vec{k} [(2 \cdot (q – 3)) – (2 \cdot (-1))]$$

$$= \vec{i} [2 – 0] – \vec{j} [2 – 0] + \vec{k} [2q – 6 – (-2)]$$

$$= 2\vec{i} – 2\vec{j} + (2q – 4)\vec{k}$$

Ara, calculem el producte escalar amb $\overrightarrow{OA} = (-2, 1, 1)$:

$$\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}) = (-2) \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (2q – 4)$$

$$= -4 – 2 + 2q – 4$$

$$= 2q – 10$$

Perquè els vectors siguin coplanaris, aquest producte ha de ser zero:

$$2q – 10 = 0$$

$$2q = 10$$

$$q = 5$$

Resposta final:
El valor de $q$ és 5.