Variació de l’acceleració de la gravetat amb l’alçada

A quina alçada per damunt de la superfície de la Terra l’acceleració de la caiguda lliure disminueix a la meitat? Dada: Radi de la Terra $R_T = 6370\, \text{km}$

L’acceleració de la caiguda lliure a una distància $r$ del centre de la Terra és: $$g = \frac{GM}{r^2} = g_0 \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$$

On $g_0$ és l’acceleració a la superfície de la Terra i hh l’alçada per sobre la superfície.

Si volem que l’acceleració sigui la meitat que a la superfície, posem: $$g = \frac{g_0}{2}$$

L’equació queda: $$\frac{g_0}{2} = g_0 \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2 \implies \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

De manera que: $$\frac{R_T}{R_T + h} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies R_T + h = \sqrt{2} \, R_T$$

Despejant $h$: $$h = (\sqrt{2} – 1) R_T \approx 0.414 \, R_T$$

Substituint $R_T = 6370 \, \text{km}$: $$h = 0.414 \times 6370 \approx 2640 \, \text{km}$$

Resultat

L’acceleració de la caiguda lliure disminueix a la meitat a una alçada aproximada de $2640$ km sobre la superfície de la Terra.