Càlcul del punt d’equilibri gravitatori entre la Terra i la Lluna

Una nau espacial que viatja des de la Terra a la Lluna al llarg de la línia que n’uneix els seus centres passa per un punt on les forces gravitacionals de la Terra i la Lluna s’anul·len exactament. A quina distància del centre de la Terra es troba aquest punt?

Dades:

• Distància Terra-Lluna: $3.84 \times 10^{8} \, \text{m}$
• Massa de la Terra és $81$ vegades la massa de la Lluna
• Menyspreu qualsevol atracció que no sigui la de la Terra i la Lluna

Al punt d’equilibri, les forces gravitatòries de la Terra i la Lluna sobre la nau són iguals en mòdul: $$F_T = F_L$$

Les forces són: $$F_T = G \frac{M_T m}{r^2}, F_L = G \frac{M_L m}{(d – r)^2}$$

On:

• $r$ és la distància des del centre de la Terra fins al punt d’equilibri
• $d = 3.84 \times 10^{8} \, \text{m}$ és la distància entre Terra i Lluna
• $M_T = 81 M_L$

Igualem les forces i eliminem $G$ i $m$: $$\frac{M_T}{r^2} = \frac{M_L}{(d – r)^2} \Rightarrow \frac{81 M_L}{r^2} = \frac{M_L}{(d – r)^2}$$

Simplificant $M_L$: $$\frac{81}{r^2} = \frac{1}{(d – r)^2} \implies 9 = \frac{r}{d – r}$$

De la qual: $$9 (d – r) = r \implies 9d – 9r = r \implies 9d = 10r \implies r = \frac{9}{10} d = 0.9 d$$

Finalment, substituïm el valor de $d$: $$r = 0.9 \times 3.84 \times 10^8 = 3.46 \times 10^8 \, \text{m} = 346000 \, \text{km}$$

Resultat

El punt on les forces gravitacionals de la Terra i la Lluna s’anul·len es troba a $346000$ km del centre de la Terra, aproximadament.