Càlcul de la velocitat inicial per a un projectil que assoleix una alçada triple del radi terrestre

Un projectil és llançat verticalment des de la superfície de la Terra i arriba fins a una alçada igual a tres vegades el radi de la Terra. Dedueix la velocitat inicial de llançament. (Dades: Radi de la Terra $R_T = 6370 \, \text{km}$)

Anomenem:

• $v_0 =$ velocitat inicial de llançament (m/s)
• $R_T = 6370 \times 10^3 \, \text{m}$
• Alçada final $h = 3 R_T$
• Distància final respecte el centre de la Terra $r = R_T + h = R_T + 3 R_T = 4 R_T$

Aplicarem el principi de conservació de l’energia: $$\frac{1}{2} m v_0^2 – \frac{GM m}{R_T} = 0 – \frac{GM m}{r}$$

On:

• $m$ és la massa del projectil
• $G$ és la constant de gravitació universal
• $M$ és la massa de la Terra

Simplificant: $$\frac{1}{2} v_0^2 = GM \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{r} \right) = GM \left( \frac{1}{R_T} – \frac{1}{4 R_T} \right) = GM \cdot \frac{3}{4 R_T}$$

Recordant que: $$GM = g_0 R_T^2$$

On $g_0 = 9.81 \, \text{m/s}^2$, acceleració gravitatòria a la superfície de la Terra.

Per tant: $$\frac{1}{2} v_0^2 = g_0 R_T^2 \cdot \frac{3}{4 R_T} = \frac{3}{4} g_0 R_T$$

I la velocitat inicial és: $$v_0 = \sqrt{2 \times \frac{3}{4} g_0 R_T} = \sqrt{\frac{3}{2} g_0 R_T}$$

Substituïm: $$v_0 = \sqrt{\frac{3}{2} \times 9.81 \times 6.37 \times 10^6} = \sqrt{9.81 \times 9.555 \times 10^6} = \sqrt{9.38 \times 10^7}$$ $$v_0 \approx 9686 \, \text{m/s} = 9.69 \, \text{km/s}$$

Resultat

La velocitat inicial de llançament del projectil és aproximadament $9.69$ km/s.