Càlcul de l’alçada màxima d’un projectil llançat des de la Terra amb velocitat inicial

Es llança un projectil de massa mm amb una velocitat inicial de $10$ km/s. Fins a quina alçada arribarà?
(Dades: Radi de la Terra $R_T = 6370 \text{ km}$)

Apliquem el principi de conservació de l’energia: Velocitat inicial $v_0 = 1 \times 10^4 \, \text{m/s}$, distància inicial $r_0 = R_T$, velocitat final $v = 0$ (a l’alçada màxima).

L’energia cinètica inicial més l’energia potencial inicial és igual a l’energia cinètica més l’energia potencial final: $$\frac{1}{2} m v_0^2 – \frac{GM_T m}{R_T} = 0 – \frac{GM_T m}{r}$$

Simplificant, fem servir la identitat $GM_T = g_0 R_T^2$: $$\frac{1}{2} v_0^2 – \frac{g_0 R_T^2}{R_T} = – \frac{g_0 R_T^2}{r}$$ $$\frac{1}{2} v_0^2 – g_0 R_T = – g_0 \frac{R_T^2}{r}$$

Multiplicant per $-1$ i reordenant: $$g_0 \frac{R_T^2}{r} = g_0 R_T – \frac{1}{2} v_0^2$$ $$\frac{R_T^2}{r} = R_T – \frac{v_0^2}{2 g_0}$$ $$r = \frac{R_T^2}{R_T – \frac{v_0^2}{2 g_0}} = \frac{R_T^2}{R_T – \frac{v_0^2}{2 g_0}}$$

Substituïm els valors:

• $g_0 = 9,81 \, \text{m/s}^2$
• $R_T = 6370 \times 10^3 = 6,37 \times 10^6 \, \text{m}$
• $v_0 = 1 \times 10^4 \, \text{m/s}$

Fem el càlcul: $$r = 3,18 \times 10^7 \, \text{m} = 31800 \, \text{km}$$

L’alçada $h$ és: $$h = r – R_T = 31800 – 6370 = 25500 \, \text{km}$$

Resultat

El projectil arribarà a una alçada de $25500$ km per sobre de la superfície terrestre.