Vareta metàl·lica i mòdul de Young

Es disposa d’una vareta metàl·lica d’$1$ m de longitud i una secció de $17,14$ mm$^2$ a la qual se sotmet a una càrrega de $200$ N experimentant un allargament de $3$ mm. Quant valdrà el mòdul d’elasticitat del material de la vareta? b) Amb quina força caldrà traccionar un filferro de llautó de $0,8$ mm de diàmetre i $1,1$ m de longitud perquè s’allargui fins a assolir $1,102$ m, i $E = 90.000$ N/mm$^2$?

a) Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$

Per calcular el mòdul d’elasticitat, utilitzem la fórmula de la llei de Hooke:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

On:

• $\sigma$ és la tensió, calculada com $\sigma = \frac{F}{A}$.
• $\varepsilon$ és la deformació unitaria, calculada com $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$.

Dades proporcionades:

• Longitud inicial de la varilla: $L_0 = 1 \, \text{m} = 1000 \, \text{mm}$
• Àrea de la secció: $A = 17.14 \, \text{mm}^2$
• Càrrega aplicada: $F = 200 \, \text{N}$
• Alargament: $\Delta L = 3 \, \text{mm}$

1. Càlcul de la tensió $\sigma$:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{200 \, \text{N}}{17.14 \, \text{mm}^2} \approx 11.68 \, \text{N/mm}^2$$

2. Càlcul de la deformació unitaria $\varepsilon$:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{3 \, \text{mm}}{1000 \, \text{mm}} = 0.003$$

3. Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{11.68 \, \text{N/mm}^2}{0.003} \approx 3893.33 \, \text{N/mm}^2$$

b) Càlcul de la força per a l’alambre de llautó

Utilitzarem de nou la llei de Hooke, on sabem que:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$

En aquest cas, busquem la força $F$ que provocarà un alargament en l’alambre de llautó.

Dades proporcionades:

• Diàmetre de l’alambre: $d = 0.8 \, \text{mm}$
• Longitud inicial de l’alambre: $L_0 = 1.1 \, \text{m} = 1100 \, \text{mm}$
• Longitud final desitjada: $L_f = 1.102 \, \text{m} = 1102 \, \text{mm}$
• Mòdul d’elasticitat del llautó: $E = 90,000 \, \text{N/mm}^2$

1. Càlcul de l’alargament $\Delta L$:

$$\Delta L = L_f – L_0 = 1102 \, \text{mm} – 1100 \, \text{mm} = 2 \, \text{mm}$$

2. Càlcul de l’àrea de la secció de l’alambre:

$$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.8 \, \text{mm})^2}{4} = \frac{\pi (0.64)}{4} \approx 0.5033 \, \text{mm}^2$$

3. Càlcul de la deformació unitaria $\varepsilon$:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{2 \, \text{mm}}{1100 \, \text{mm}} \approx 0.001818$$

4. Càlcul de la tensió $\sigma$:

$$\sigma = E \cdot \varepsilon = 90,000 \, \text{N/mm}^2 \cdot 0.001818 \approx 163.62 \, \text{N/mm}^2$$

5. Càlcul de la força $F$:

$$F = \sigma \cdot A = 163.62 \, \text{N/mm}^2 \cdot 0.5033 \, \text{mm}^2 \approx 82.27 \, \text{N}$$

Resultats finals:

• a) Mòdul d’elasticitat $E$ $ = 3893.33 \, \text{N/mm}^2$
• b) Força necessària per alargar l’alambre de llautó: $82.27 \, \text{N}$