LEMNISCATA
Matemàtiques
Es disposa d’una vareta metàl·lica d’$1$ m de longitud i una secció de $17,14$ mm$^2$ a la qual se sotmet a una càrrega de $200$ N experimentant un allargament de $3$ mm. Quant valdrà el mòdul d’elasticitat del material de la vareta? b) Amb quina força caldrà traccionar un filferro de llautó de $0,8$ mm de diàmetre i $1,1$ m de longitud perquè s’allargui fins a assolir $1,102$ m, i $E = 90.000$ N/mm$^2$?
Per calcular el mòdul d’elasticitat, utilitzem la fórmula de la llei de Hooke:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
On:
Dades proporcionades:
$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{200 \, \text{N}}{17.14 \, \text{mm}^2} \approx 11.68 \, \text{N/mm}^2$$
$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{3 \, \text{mm}}{1000 \, \text{mm}} = 0.003$$
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{11.68 \, \text{N/mm}^2}{0.003} \approx 3893.33 \, \text{N/mm}^2$$
Utilitzarem de nou la llei de Hooke, on sabem que:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
En aquest cas, busquem la força $F$ que provocarà un alargament en l’alambre de llautó.
Dades proporcionades:
$$\Delta L = L_f – L_0 = 1102 \, \text{mm} – 1100 \, \text{mm} = 2 \, \text{mm}$$
$$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0.8 \, \text{mm})^2}{4} = \frac{\pi (0.64)}{4} \approx 0.5033 \, \text{mm}^2$$
$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{2 \, \text{mm}}{1100 \, \text{mm}} \approx 0.001818$$
$$\sigma = E \cdot \varepsilon = 90,000 \, \text{N/mm}^2 \cdot 0.001818 \approx 163.62 \, \text{N/mm}^2$$
$$F = \sigma \cdot A = 163.62 \, \text{N/mm}^2 \cdot 0.5033 \, \text{mm}^2 \approx 82.27 \, \text{N}$$