LEMNISCATA
Matemàtiques
La intensitat de la llum del sol que incideix sobre la part superior de l’atmosfera terrestre s’anomena constant solar i val $1.35$ kW/m$^22$. Calculeu: a) El valor eficaç del camp elèctric i del camp magnètic deguts al Sol en aquesta regió. b) La potència mitjana emesa pel Sol.
Per resoldre aquest problema, utilitzarem conceptes de radiació electromagnètica i les relacions entre el camp elèctric, el camp magnètic i la potència en una ona electromagnètica.
La intensitat d’una ona electromagnètica es pot expressar com:
$$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$$
On:
Reordenem la fórmula per trobar $E_0$:
$$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$$
Substituint els valors:
$$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 1350}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^8)}} = \sqrt{\frac{2700}{2.655 \times 10^{-3}}} \approx \sqrt{1.017 \times 10^6} \approx 1008.5 \, \text{V/m}$$
Per tant, el valor màxim del camp elèctric és aproximadament $1008.5$ V/m.
El valor eficaç del camp elèctric $E_{\text{rms}}$ és:
$$E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} \approx \frac{1008.5}{\sqrt{2}} \approx 713.3 \, \text{V/m}$$
La relació entre el camp elèctric i el camp magnètic en una ona electromagnètica és:
$$E_0 = c B_0$$
D’aquesta manera, podem trobar el valor màxim del camp magnètic $B_0$:
$$B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{1008.5 \, \text{V/m}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} \approx 3.36 \times 10^{-6} \, \text{T}$$
El valor eficaç del camp magnètic és:
$$B_{\text{rms}} = \frac{B_0}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.36 \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} \approx 2.38 \times 10^{-6} \, \text{T}$$
Per trobar la potència total mitjana emesa pel Sol, utilitzem la llei de Stefan-Boltzmann per un cos que emet radiació:
$$P = I \cdot A$$
On:
La potència total radiada pel Sol es pot calcular suposant que la radiació es distribueix uniformement en una esfera al voltant del Sol. La superfície de l’esfera és:
$$A = 4 \pi R^2 = 4 \pi (1.496 \times 10^{11} \, \text{m})^2 \approx 2.812 \times 10^{23} \, \text{m}^2$$
Ara, calculem la potència total:
$$P = I \cdot A = 1350 \, \text{W/m}^2 \cdot 2.812 \times 10^{23} \, \text{m}^2 \approx 3.796 \times 10^{26} \, \text{W}$$
Si tens més preguntes o necessites aclariments, estaré encantat d’ajudar-te!