Proveta de secció transversal quadrada

Una proveta de secció transversal quadrada de $2,5$ cm de costat i $25$ cm de longitud es deforma elàsticament a tracció fins que s’assoleix una força de $12.000$ N. Si s’augmenta la força a la proveta comencen les deformacions plàstiques fins que en assolir una força de $16.200$ N es trenca. El mòdul elàstic ($E$) és de $1\cdot10^6$ N/cm$^2$. Calculeu: a) Tensió límit elàstica. b) Tensió màxima de treball amb un coeficient de seguretat sobre trencament $n = 2$. c) Allargament quan s’assoleix el límit elàstic. d) Allargament quan s’aplica una força de $5000$ N.

Dades proporcionades:

• Secció transversal quadrada, costat: $a = 2.5 \, \text{cm}$
• Longitud de la proveta: $L = 25 \, \text{cm}$
• Força límit elàstica: $F_{\text{elàstica}} = 12,000 \, \text{N}$
• Força de trencament: $F_{\text{trencament}} = 16,200 \, \text{N}$
• Mòdul elàstic: $E = 1 \times 10^6 \, \text{N/cm}^2$
• Coeficient de seguretat: $n = 2$
• Força addicional: $F = 5000 \, \text{N}$

a) Tensió límit elàstica:

La tensió es calcula usant la fórmula:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

On:

• $\sigma$ és la tensió (en $\text{N/cm}^2$),
• $F$ és la força aplicada (en N),
• $A$ és l’àrea de la secció transversal (en $\text{cm}^2$).

Primer, calculem l’àrea de la secció transversal de la proveta (quadrada):

$$A = a^2 = (2.5 \, \text{cm})^2 = 6.25 \, \text{cm}^2$$

Ara, calculem la tensió límit elàstica:

$$\sigma_{\text{elàstica}} = \frac{F_{\text{elàstica}}}{A} = \frac{12,000 \, \text{N}}{6.25 \, \text{cm}^2} = 1920 \, \text{N/cm}^2$$

b) Tensió màxima de treball (amb coeficient de seguretat):

La tensió màxima de treball es pot calcular amb la fórmula següent usant el coeficient de seguretat $n$:

$$\sigma_{\text{màxima}} = \frac{\sigma_{\text{trencament}}}{n}$$

Primer, calculem la tensió de trencament:

$$\sigma_{\text{trencament}} = \frac{F_{\text{trencament}}}{A} = \frac{16,200 \, \text{N}}{6.25 \, \text{cm}^2} = 2592 \, \text{N/cm}^2$$

Després, amb el coeficient de seguretat $n = 2$:

$$\sigma_{\text{màxima}} = \frac{2592 \, \text{N/cm}^2}{2} = 1296 \, \text{N/cm}^2$$

c) Allargament quan s’assoleix el límit elàstic:

L’allargament unitari $\varepsilon$ es pot calcular usant la fórmula de Hooke per a deformació elàstica:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

Sabem que l’allargament total $\Delta L$ és:

$$\Delta L = \varepsilon \cdot L$$

Primer, calculem l’allargament unitari usant la tensió límit elàstica:

$$\varepsilon_{\text{elàstica}} = \frac{1920 \, \text{N/cm}^2}{1 \times 10^6 \, \text{N/cm}^2} = 0.00192$$

Ara, calculem l’allargament total quan s’assoleix el límit elàstic:

$$\Delta L_{\text{elàstica}} = 0.00192 \cdot 25 \, \text{cm} = 0.048 \, \text{cm}$$

d) Allargament quan s’aplica una força de $5000$ N:

Primer, calculem la tensió per a una força de $5000 \, \text{N}$:

$$\sigma = \frac{5000 \, \text{N}}{6.25 \, \text{cm}^2} = 800 \, \text{N/cm}^2$$

Ara, calculem l’allargament unitari usant la llei de Hooke:

$$\varepsilon = \frac{800 \, \text{N/cm}^2}{1 \times 10^6 \, \text{N/cm}^2} = 0.0008$$

Finalment, calculem l’allargament total:

$$\Delta L = 0.0008 \cdot 25 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{cm}$$

Resum de resultats:

• a) Tensió límit elàstica: $1920 \, \text{N/cm}^2$
• b) Tensió màxima de treball: $1296 \, \text{N/cm}^2$
• c) Allargament al límit elàstic: $0.048 \, \text{cm}$
• d) Allargament per $5000 \, \text{N}$: $0.02 \, \text{cm}$