un tanc cilíndric

El tanc cilíndric en una planta de processament d’aliments està ple amb una solució concentrada de sucre que té una densitat inicial de $\rho_0 = 1400 \, \text{kg}/\text{m}^3$. Es bombeja aigua al tanc en el punt A a una velocitat de flux de $0.03 \, \text{m}^3/\text{s}$ i es mescla amb la solució de sucre. Si un flux igual de solució diluïda surt en el punt B, determinar la quantitat de temps que cal després de la qual la solució de sucre es reduirà en un $10\%$ del seu valor original.

Definint l’equació de conservació de la massa
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} \int_{V_c} \rho \, dV + \int_{S_c} \rho \mathbf{V} \cdot d\mathbf{A} = 0
\end{equation}

Notant que la densitat de la mescla varia
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} (\rho V) + [\rho Q – \rho_w Q] = 0 \Rightarrow V \frac{\partial \rho}{\partial t} = \rho_w Q – \rho Q
\end{equation}

Factoritzant Q
\begin{equation}
V \frac{\partial \rho}{\partial t} = Q (\rho_w – \rho)
\end{equation}

Integrant l’equació diferencial
\begin{equation}
\int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho}{\rho_w – \rho} = -\frac{Q}{V} \int_0^t dt
\end{equation}

Resolent la primera integral amb un canvi de variable
\begin{equation}
\int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho}{\rho_w – \rho} = -\ln\left(\frac{\rho_w – \rho}{\rho_w – \rho_0}\right)
\end{equation}

Resolent la segona integral
\begin{equation}
\int_0^t dt = t
\end{equation}

Combinant els resultats
\begin{equation}
\ln\left(\frac{\rho_w – \rho_0}{\rho_w – \rho}\right) = \frac{Q t}{V}
\end{equation}

Resolent per al temps $t$ amb unitats
\begin{equation}
t = \frac{V}{Q} \ln\left(\frac{\rho_w – \rho_0}{\rho_w – \rho}\right) \, \text{(s)}
\end{equation}

Substituint valors amb unitats
\begin{equation}
t = \frac{\pi (0.5 \, \text{m})^2 (2 \, \text{m})}{0.03 \, \text{m}^3/\text{s}} \ln\left(\frac{1000 \, \text{kg}/\text{m}^3 – 1400 \, \text{kg}/\text{m}^3}{1000 \, \text{kg}/\text{m}^3 – 0.9 \cdot 1400 \, \text{kg}/\text{m}^3}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
t = 22.556 \, \text{s}
\end{equation}

Calculant el volum amb unitats
\begin{equation}
V = Q t = 0.03 \, \text{m}^3/\text{s} \cdot 22.556 \, \text{s} = 0.667 \, \text{m}^3
\end{equation}