Trobar solucions d’un sistema d’equacions

Troba la solució del sistema lineal següent: \begin{cases} 2x+y-z=3 \\ x-y+z=1 \\ 3x+y=4 \end{cases}

Primer de tot expressarem la matriu i matriu ampliada del sistema:

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad MA=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3\\ 1 & -1 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

Ens cal ara estudiar el rang de la matriu A i la matriu MA per veure si el sistema té solució o no. Com que ja tenim un element diferent de zero, el rang de la matriu A com a mínim és 1. Anem a buscar un menor d’ordre dos no nul:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-3 \ne 0$$

El rang per tant, com a mínim és 2. Anem a calcular el determinant de la matriu:

$$A=\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} =-3\ne 0$$

Veiem que rangA=3 i necessàriament serà igual al rang de la matriu ampliada (perquè conté el menor de la matriu A a dins). Per tant, aquest sistema és compatible determinat. Anem ara a trobar la solució. En forma matricial:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$$

Per trobar la solució cal que fem: $$X=A^{-1}\cdot B$$. Anem a buscar primer la inversa de la matriu, $A^{-1}=\frac{ 1 }{ |A| } Adj(A)^{T}$:

$$Adj(A)=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 4\\ -1 & 3 & 1\\ 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow Adj(A)^{T}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\ 3 & 3 & -3\\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\frac{ -1 }{ 3 }\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\ 3 & 3 & -3\\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$

Per tant:

$$X= \frac{ -1 }{ 3 }\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\ 3 & 3 & -3\\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/3\\ 0\\ -1/3 \end{pmatrix}$$

La solució d’aquest sistema és:

$$\boxed{x=\frac{4}{3}, \quad y=0, \quad z=\frac{-1}{3}}$$