Trobar la permeabilitat magnètica del medi. EBAU FÍSICA: juny-2017 Extremadura

A l’interior d’un determinat mitjà hi ha un cable conductor recte i indefinit pel qual circula un corrent elèctric d’intensitat $15$ A. Com a conseqüència es genera un camp magnètic de $4,5\cdot10^{-4}\ \text{T}$ a una distància $de$ 3 cm d’aquest conductor i en un pla perpendicular. Determina la permeabilitat magnètica del medi.

D’acord amb l’enunciat d’aquest problema, n’hi ha prou amb aplicar l’equació que ens dona el camp magnètic creat per un conductor rectilini a una distància donada, $r$.

Dades:

• $B = 4,5 \cdot 10^{-4} \, \text{T}$;
• $I = 15 \, \text{A}$;
• $r = 3 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}$

$$B = \frac{\mu \cdot I}{2 \cdot \pi \cdot r} \Rightarrow \mu = \frac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot B}{I}$$

$$\mu = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0,03 \cdot 4,5 \cdot 10^{-4}}{15} = 5,65 \cdot 10^{-6} \, \text{T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$$

Si volem calcular la permeabilitat magnètica relativa d’aquest medi:

$$\mu = \mu_r \cdot \mu_0 \Rightarrow \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$$

$$\mu_r = \frac{5,65 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot \pi \cdot 10^{-7}} = 4,5$$

Per això plantejaríem l’expressió de la llei de Biot-Savart:

$$d\vec{B} = \frac{\mu \cdot I}{4 \cdot \pi} \cdot \frac{d\vec{l} \wedge \vec{r}}{r^3}$$

El vector inducció magnètica se n’obté per integració d’aquesta expressió. No és la qüestió, ja que es necessita un canvi de variable i la integral no és de les senzilles, però el que sí que podem deduir-ne és quina és la seva direcció i sentit (els mateixos que per a la seva forma diferencial) i que queden marcats per el producte vectorial ($d\vec{l} \wedge \vec{r}$). D’acord amb la regla del llevataps, el vector inducció magnètica serà perpendicular al pla format per aquests dos vectors i el seu sentit cap a l’interior del paper quan ho representem en l’extrem del vector $\vec{r}$ (vegeu dibuix).