Problema electrostàtica

Als vèrtexs inferiors d’un triangle equilàter de costat a, se situen dues càrregues puntuals positives iguals de valor $q_1 = q_2 = q$. a) Dibuixa en un esquema els vectors camp elèctric creat per les càrregues $q_1$ i $q_2$ i la força electrostàtica sobre la càrrega $Q$. b) Calcula aquesta força amb mòdul, direcció i sentit. Expressa el resultat en termes de $q$, $Q$, a i de la constant de Coulomb, $K$.

a) Esquema dels vectors camp elèctric i força electrostàtica

Imagina un triangle equilàter amb costat $a$. Col·loquem els vèrtexs en un sistema de coordenades per facilitar l’anàlisi:

• $q_1$ a $(0, 0)$.
• $q_2$ a $(a, 0)$.
• $Q$ al vèrtex superior, que per un triangle equilàter de costat $a$ està a $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$.

Camp elèctric creat per $q_1$ i $q_2$ sobre $Q$:

El camp elèctric $\vec{E}$ creat per una càrrega puntual es calcula com:
$$\vec{E} = \frac{K \cdot q}{r^2} \hat{r}$$
on $r$ és la distància entre la càrrega i el punt, i $\hat{r}$ és el vector unitari en la direcció.

• Camp de $q_1$ sobre $Q$:
• Distància entre $q_1$ (a $(0, 0)$) i $Q$ (a $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$):
  $$r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = a$$
• Vector de posició de $q_1$ a $Q$: $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$.
• Vector unitari: $\hat{r}_{1Q} = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
• Camp:
  $$\vec{E}_1 = \frac{K \cdot q}{a^2} \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$
• Camp de $q_2$ sobre $Q$:
• Distància entre $q_2$ (a $(a, 0)$) i $Q$: igual a $a$ (triangle equilàter).
• Vector de posició de $q_2$ a $Q$: $\left( \frac{a}{2} – a, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$.
• Vector unitari: $\hat{r}_{2Q} = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
• Camp:
  $$\vec{E}_2 = \frac{K \cdot q}{a^2} \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Força electrostàtica sobre $Q$:

La força sobre $Q$ és:
$$\vec{F} = Q \cdot (\vec{E}_1 + \vec{E}_2)$$

b) Càlcul de la força ($\vec{F}$)

Camp elèctric resultant a la posició de $Q$:

Sumem els camps $\vec{E}1$ i $\vec{E}_2$: $$\vec{E}{\text{total}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$$
$$\vec{E}_1 = \frac{K \cdot q}{a^2} \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \quad \vec{E}_2 = \frac{K \cdot q}{a^2} \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Components:

• Component $x$:
  $$E_x = \frac{K \cdot q}{a^2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K \cdot q}{a^2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 0$$
• Component $y$:
  $$E_y = \frac{K \cdot q}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{K \cdot q}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{K \cdot q}{a^2} \cdot \sqrt{3}$$

Per tant:
$$\vec{E}_{\text{total}} = \left( 0, \frac{K \cdot q \cdot \sqrt{3}}{a^2} \right)$$

Força sobre $Q$:

$$\vec{F} = Q \cdot \vec{E}_{\text{total}} = Q \cdot \left( 0, \frac{K \cdot q \cdot \sqrt{3}}{a^2} \right) = \left( 0, \frac{K \cdot q \cdot Q \cdot \sqrt{3}}{a^2} \right)$$

Mòdul, direcció i sentit:

• Mòdul:
  $$F = \frac{K \cdot q \cdot Q \cdot \sqrt{3}}{a^2}$$
• Direcció: Com la component $x$ és zero i la $y$ és positiva, la força és vertical cap amunt (paral·lela a l’eix $y$).
• Sentit: Cap amunt (ja que $Q$ és positiva i el camp apunta cap amunt).

Resposta final:

a) L’esquema mostra un triangle equilàter amb $q_1$ i $q_2$ a la base i $Q$ al vèrtex superior. Els vectors $\vec{E}_1$ i $\vec{E}_2$ apunten des de $Q$ cap a $q_1$ i $q_2$, formant angles de 60º amb l’horitzontal. La força $\vec{F}$ sobre $Q$ és vertical cap amunt.

b) La força electrostàtica sobre $Q$ és:
$$\vec{F} = \left( 0, \frac{K \cdot q \cdot Q \cdot \sqrt{3}}{a^2} \right)$$

• Mòdul: $F = \frac{K \cdot q \cdot Q \cdot \sqrt{3}}{a^2}$
• Direcció: Vertical (paral·lela a l’eix $y$).
• Sentit: Cap amunt.

$$\boxed{F = \frac{K \cdot q \cdot Q \cdot \sqrt{3}}{a^2}, \quad \text{direcció vertical cap amunt}}$$