Estructura cúbica i càlcul de la densitat del coure

El coure té una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), un radi atòmic de 0,1278 nm i una massa atòmica de 63,54 g/mol. Considerant els àtoms com a esferes rígides en contacte al llarg de les diagonals de la cel·la unitat, calcula: a) La densitat teòrica. b) Si sabem que la densitat real del coure és de 8,960 kg/m³, explica la diferència entre aquests dos valors.

Dades inicials:

• Estructura: FCC (cúbica centrada en les cares).

• Radi atòmic del coure: \( r = 0,1278 \, \text{nm} = 0,1278 \times 10^{-9} \, \text{m} = 1,278 \times 10^{-10} \, \text{m} \).

• Massa atòmica: \( M = 63,54 \, \text{g/mol} = 63,54 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol} \).

• Densitat real: \( \rho_{\text{real}} = 8,960 \, \text{kg/m}^3 \).

• Nombre d’Avogadro: $N_A = 6,022 \times 10^{23} \, \text{àtoms/mol}$

a) Calcular la densitat teòrica

1. Relació entre el radi atòmic \( r \) i el paràmetre de xarxa \( a \): En una estructura FCC, els àtoms estan en contacte al llarg de la diagonal de la cara de la cel·la unitat. La diagonal de la cara d’un cub és \( \sqrt{2}a \), i aquesta diagonal conté 4 radis atòmics (2 àtoms en les cantonades i 1 àtom al centre de la cara).Per tant:\[\sqrt{2}a = 4r \implies a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r\]Substituint \( r = 1,278 \times 10^{-10} \, \text{m} \):\[a = 2\sqrt{2} \times 1,278 \times 10^{-10} = 2 \times 1,414 \times 1,278 \times 10^{-10} \approx 3,613 \times 10^{-10} \, \text{m}\]

2. Volum de la cel·la unitat: El volum de la cel·la unitat és:\[V = a^3 = (3,613 \times 10^{-10})^3 \approx 4,711 \times 10^{-29} \, \text{m}^3\]

3. Nombre d’àtoms per cel·la unitat: En una estructura FCC, hi ha:

• 8 àtoms als vèrtexs, cadascun compartit per 8 cel·les: \( 8 \times \frac{1}{8} = 1 \).

• 6 àtoms al centre de les cares, cadascun compartit per 2 cel·les: \( 6 \times \frac{1}{2} = 3 \). Total d’àtoms per cel·la: \( 1 + 3 = 4 \).

4. Massa d’un àtom de coure: La massa d’un àtom es calcula a partir de la massa atòmica i el nombre d’Avogadro:\[m_{\text{àtom}} = \frac{M}{N_A} = \frac{63,54 \times 10^{-3}}{6,022 \times 10^{23}} \approx 1,055 \times 10^{-25} \, \text{kg}\]

5. Massa total de la cel·la unitat: Com hi ha 4 àtoms per cel·la:\[m_{\text{cel·la}} = 4 \times m_{\text{àtom}} = 4 \times 1,055 \times 10^{-25} \approx 4,22 \times 10^{-25} \, \text{kg}\]

6. Densitat teòrica: La densitat es calcula com:\[\rho_{\text{teòrica}} = \frac{m_{\text{cel·la}}}{V} = \frac{4,22 \times 10^{-25}}{4,711 \times 10^{-29}} \approx 8958,9 \, \text{kg/m}^3\]Arrodonint:\[\rho_{\text{teòrica}} \approx 8,959 \, \text{kg/m}^3\]

b) Explicar la diferència entre la densitat teòrica i la densitat real

• Densitat teòrica calculada: \( 8,959 \, \text{kg/m}^3 \).

• Densitat real: \( 8,960 \, \text{kg/m}^3 \).La diferència és mínima:\[\Delta \rho = 8,960 – 8,959 = 0,001 \, \text{kg/m}^3\] Aquesta petita diferència pot ser deguda a diversos factors:

1. Defectes estructurals: En un cristall real, hi ha defectes com dislocacions, vacants o impureses que poden alterar lleugerament la densitat.

2. Temperatura: La densitat real es mesura normalment a temperatura ambient, i l’expansió tèrmica pot reduir lleugerament la densitat en comparació amb el valor teòric ideal (calculat assumint una estructura perfecta a 0 K).

3. Aproximacions en el càlcul: Els valors de \( r \), \( M \), i \( N_A \) poden tenir petites incerteses, i arrodoniments en els càlculs poden introduir errors mínims.

4. Model d’esferes rígides: Assumim que els àtoms són esferes rígides en contacte, però en la realitat hi ha interaccions quàntiques i vibracions tèrmiques que poden modificar lleugerament les distàncies interatòmiques. En aquest cas, la diferència és tan petita que indica que el model teòric és molt precís per al coure, i les condicions reals (com defectes o temperatura) tenen un impacte negligible.