Treball, energia i potència de cossos en translació

Un cos de $250$ kg triga $5$ s a pujar per un pendent que forma un angle de $4^\circ$ amb l’horitzontal. Parteix del repòs fins a assolir una velocitat de $20$ m/s. Determina la força que hi ha actuat i la potència desenvolupada per fer pujar el cos si el coeficient de fricció entre el cos i el pendent és de $0,15$ (fig. 1.34).

En el cos hi actuen dues forces no conservatives: la força externa F que s’ha de calcular i la força de fricció $F_f$, que és oposada a la primera. El treball fet per aquestes forces origina el canvi o la variació de l’energia mecànica del cos.\[W_{1 \rightarrow 2} = \left( \frac{1}{2} m v_2^2 – \frac{1}{2} m v_1^2 \right) + (m g h_2 – m g h_1)\]\[W_{1 \rightarrow 2} = (F – F_f) \cdot \Delta x\]

Calculem el desplaçament a partir de l’acceleració i del temps: \[v = v_0 + at\]\[20\, \text{m/s} = 0 + a \cdot 5 \Rightarrow a = 4\, \text{m/s}^2\]\[\Delta x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\]\[\Delta x = 0 + \frac{1}{2} \cdot 4\, \text{m/s}^2 \cdot 5^2\, \text{s} = 50\, \text{m}\]\[\Delta x = 50\, \text{m}\]

La força de fricció val: \[F_f = N \mu = (P \cos \alpha) \mu\]ja que \( N = P_y \)\[F_f = 250\, \text{kg} \cdot 9,807\, \text{m/s}^2 \cdot \cos 4^\circ \cdot 0,15 = 366,87\, \text{N}\quad \text{i} \quad\begin{cases}\alpha = 4^\circ \\h_2 = 50\, \text{m} \cdot \sin 4^\circ = 3,488\, \text{m}\end{cases}\]

Llavors: \[(F – 367,87\, \text{N}) \cdot 50\, \text{m} =\left( \frac{1}{2} \cdot 250\, \text{kg} \cdot (20\, \text{m/s})^2 – 0 \right) +(250\, \text{kg} \cdot 9,807\, \text{m/s}^2 \cdot 3,488\, \text{m} – 0)\]on \( F = 1537,7\, \text{N} \)

La potència desenvolupada: \[P = \frac{W}{t} = \frac{1537,9\, \text{N} \cdot 50\, \text{m}}{5\, \text{s}} = 15379\, \text{W}\]