Treball en una trajectòria corba

Una partícula de massa $m = 0,2 \, \text{kg}$ es mou al llarg d’una trajectòria circular de radi $R = 1 \, \text{m}$ sota l’acció d’una força radial $F(r) = k/r^2 \, \text{N}$, amb $k = 2 \, \text{N} \cdot \text{m}^2$. La partícula completa una volta completa des de $\theta = 0^\circ$ fins a $\theta = 360^\circ$. Calculeu: (a) El treball total realitzat per la força. (b) Si la velocitat inicial era $v_0 = 5 \, \text{m/s}$, quina és la velocitat final?

Les dades són: $m = 0,2 \, \text{kg}$, $R = 1 \, \text{m}$, $F(r) = \frac{2}{r^2} \, \text{N}$, trajectòria circular.

(a) Com que la força és radial i el desplaçament és tangencial en una trajectòria circular, l’angle entre $\vec{F}$ i $d\vec{s}$ és $90^\circ$. Per tant:
$$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F \cos 90^\circ \, ds = 0 \, \text{J}.$$
El treball és zero per a una volta completa.

(b) Com que el treball és zero, l’energia cinètica no canvia:
$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 \implies v_f = v_0 = 5 \, \text{m/s}.$$

$\textbf{Resposta:}$
(a) $W = 0 \, \text{J}$.
(b) $v_f = 5 \, \text{m/s}$.