Pèndol amb fregament dissipatiu

Un pèndol de massa $m = 0,5 \, \text{kg}$ i longitud $L = 1,2 \, \text{m}$ es deixa anar des d’un angle inicial $\theta_0 = 60^\circ$ respecte a la vertical. La resistència de l’aire exerceix una força de fregament proporcional a la velocitat, $F_d = -b v$, amb $b = 0,1 \, \text{N} \cdot \text{s/m}$. Calculeu: (a) L’energia potencial inicial. (b) Una estimació del treball dissipatiu durant una oscil·lació completa (suposant una velocitat mitjana $v_{\text{mit}} \approx 1 \, \text{m/s}$). (c) La velocitat màxima aproximada al punt més baix.

Les dades són: $m = 0,5 \, \text{kg}$, $L = 1,2 \, \text{m}$, $\theta_0 = 60^\circ$, $b = 0,1 \, \text{N} \cdot \text{s/m}$, $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.

(a) Altura inicial:
$$h = L (1 – \cos \theta_0) = 1,2 \cdot (1 – \cos 60^\circ) = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6 \, \text{m}.$$
Energia potencial inicial:
$$E_{pg} = m g h = 0,5 \cdot 9,8 \cdot 0,6 = 2,94 \, \text{J}.$$

(b) Estimem el treball dissipatiu:
$$F_d \approx 0,1 \cdot 1 = 0,1 \, \text{N}, \quad \text{distància} \approx 2 \cdot L \cdot \theta_0 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 2 \cdot 1,2 \cdot 60 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 2,51 \, \text{m}.$$
$$W_d \approx F_d \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 0,1 \cdot 2,51 \cdot (-1) \approx -0,25 \, \text{J}.$$

(c) Velocitat màxima sense fregament:
$$E_{pg} = \frac{1}{2} m v_{\text{màx}}^2 \implies 2,94 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot v_{\text{màx}}^2 \implies v_{\text{màx}}^2 = \frac{2,94 \cdot 2}{0,5} = 11,76 \implies v_{\text{màx}} \approx 3,43 \, \text{m/s}.$$
Amb fregament:
$$E_{c,\text{final}} = E_{pg} + W_d = 2,94 – 0,25 = 2,69 \, \text{J} \implies \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot v^2 = 2,69 \implies v^2 = 10,76 \implies v \approx 3,28 \, \text{m/s}.$$

$\textbf{Resposta:}$
(a) $E_{pg} = 2,94 \, \text{J}$.
(b) $W_d \approx -0,25 \, \text{J}$.
(c) $v_{\text{màx}} \approx 3,28 \, \text{m/s}$.