Col·lisió i conservació d’energia

Una massa $m_1 = 2 \, \text{kg}$ amb velocitat inicial $v_1 = 6 \, \text{m/s}$ col·lideix elàsticament amb una massa $m_2 = 3 \, \text{kg}$ en repòs. Després de la col·lisió, $m_1$ rebota amb una velocitat de $-2 \, \text{m/s}$. Calculeu: (a) La velocitat de $m_2$ després de la col·lisió. (b) L’energia cinètica total inicial i final per verificar la conservació. (c) El treball net realitzat sobre el sistema.

Les dades són: $m_1 = 2 \, \text{kg}$, $m_2 = 3 \, \text{kg}$, $v_{1i} = 6 \, \text{m/s}$, $v_{2i} = 0 \, \text{m/s}$, $v_{1f} = -2 \, \text{m/s}$.

(a) Conservació del moment:
$$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \implies 2 \cdot 6 + 3 \cdot 0 = 2 \cdot (-2) + 3 \cdot v_{2f}.$$
$$12 = -4 + 3 v_{2f} \implies 3 v_{2f} = 16 \implies v_{2f} \approx 5,33 \, \text{m/s}.$$

(b) Energia cinètica inicial:
$$E_{c,\text{inicial}} = \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 + 0 = 36 \, \text{J}.$$
Energia cinètica final:
$$E_{c,\text{final}} = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (5,33)^2 \approx 4 + 42,67 \approx 46,67 \, \text{J}.$$
El resultat contradiu la afirmació del problema que és una col·lisió elàstica, verifiquem:
$$E_{c,\text{final}} \not =E_{c,\text{inicial}} \Longrightarrow(\text{no és una col·lisió totalment elàstica}).$$

(c) En absència de forces externes, el treball net sobre el sistema ha de ser zero. Però si hi ha un augment d’energia cinètica, això implica que hi ha una força externa que ha realitzat treball positiu sobre el sistema. $$W_{\text{net}} = E_{kf} – E_{ki} = 44.67 – 36 = \boxed{8.67 \, \text{J}}$$

$\textbf{Resposta:}$
(a) $v_{2f} \approx 5,33 \, \text{m/s}$.
(b) $E_{c,\text{inicial}} = 36 \, \text{J}$, $E_{c,\text{final}} \approx 46,67 \, \text{J}$.
(c) $W_{\text{net}} = 8.67 \, \text{J}$.