Càlcul del moment lineal, velocitat i força mitjana en una col·lisió de partícules

Una partícula de 2,00 kg de massa s’acosta a l’origen de coordenades amb una velocitat \(\vec{v}_1 = 10\hat{i} + 3\hat{j} \, \text{m/s}\). A l’origen de coordenades, xoca amb una altra partícula de 4,00 kg que es troba en repòs. Després del xoc, la partícula de 4,00 kg es mou a 5,0 m/s en una direcció que forma un angle de 30º amb l’eix \(x\). Es demana: a) El moment lineal del sistema format per les dues partícules abans i després del xoc. b) La velocitat (mòdul i vector) de la partícula de 2,00 kg després del xoc. c) Si el xoc dura 0,50 s, la força mitjana exercida entre les partícules.

**:—### **a) Moment lineal del sistema abans i després del xoc**El moment lineal total del sistema es conserva perquè no hi ha forces externes netes.

Abans del xoc

• Partícula 1 (\(m_1 = 2,00 \, \text{kg}\)): \[ \vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1 = 2,00 (10\hat{i} + 3\hat{j}) = 20\hat{i} + 6\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]

• Partícula 2 (\(m_2 = 4,00 \, \text{kg}\), en repòs): \[ \vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2 = 4,00 \cdot 0 = 0 \]

• Moment total abans: \[ \vec{p}_{\text{total, inicial}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 20\hat{i} + 6\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]

Després del xoc. La partícula 2 es mou a \(v_2′ = 5,0 \, \text{m/s}\) amb un angle de \(30^\circ\). Descomponem la velocitat: \[v_{2x}’ = 5,0 \cos(30^\circ) = 5,0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4,330 \, \text{m/s}\]\[v_{2y}’ = 5,0 \sin(30^\circ) = 5,0 \cdot \frac{1}{2} = 2,50 \, \text{m/s}\]- Moment de la partícula 2: \[ \vec{p}_2′ = m_2 \vec{v}_2′ = 4,00 (4,330\hat{i} + 2,50\hat{j}) = 17,32\hat{i} + 10,0\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]- Moment de la partícula 1 (desconegut): \[ \vec{p}_1′ = m_1 \vec{v}_1′ = 2,00 (v_{1x}’\hat{i} + v_{1y}’\hat{j}) \]Per conservació del moment: \[20\hat{i} + 6\hat{j} = (17,32 + 2,00 v_{1x}’)\hat{i} + (10,0 + 2,00 v_{1y}’)\hat{j}\]- Eix \(x\): \[ v_{1x}’ = \frac{20 – 17,32}{2,00} = 1,34 \, \text{m/s} \]- Eix \(y\): \[ v_{1y}’ = \frac{6 – 10,0}{2,00} = -2,0 \, \text{m/s} \]- Moment de la partícula 1: \[ \vec{p}_1′ = 2,00 (1,34\hat{i} – 2,0\hat{j}) = 2,68\hat{i} – 4,0\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]- Moment total després: \[ \vec{p}_{\text{total, final}} = \vec{p}_1′ + \vec{p}_2′ = 20\hat{i} + 6\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]

Resposta:

• Abans: \(20\hat{i} + 6\hat{j} \, \text{kg·m/s}\)

• Després: \(20\hat{i} + 6\hat{j} \, \text{kg·m/s}\)

b) Velocitat (mòdul i vector) de la partícula de 2,00 kg després del xoc. Vector velocitat: \[\vec{v}_1′ = 1,34\hat{i} – 2,0\hat{j} \, \text{m/s}\]Mòdul: \[|\vec{v}_1’| = \sqrt{(1,34)^2 + (-2,0)^2} \approx \sqrt{5,7956} \approx 2,41 \, \text{m/s}\]Direcció: \[\tan \theta = \frac{v_{1y}’}{v_{1x}’} = \frac{-2,0}{1,34} \approx -1,4925 \quad \Rightarrow \quad \theta \approx -56,3^\circ\]

Resposta:

• Vector: \(1,34\hat{i} – 2,0\hat{j} \, \text{m/s}\)

• Mòdul: \(2,41 \, \text{m/s}\)

• Direcció: \(\approx -56,3^\circ\)

c) Força mitjana durant el xoc. La força mitjana es calcula com: \[\vec{F}_{\text{mitjana}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\]Per la partícula 1: – Canvi de moment: \[ \Delta \vec{p}_1 = \vec{p}_1′ – \vec{p}_1 = (2,68 – 20)\hat{i} + (-4,0 – 6)\hat{j} = -17,32\hat{i} – 10,0\hat{j} \, \text{kg·m/s} \]- Força mitjana: \[ \vec{F}_{\text{mitjana, 1}} = \frac{-17,32\hat{i} – 10,0\hat{j}}{0,50} = -34,64\hat{i} – 20,0\hat{j} \, \text{N} \]- Mòdul: \[ |\vec{F}_{\text{mitjana, 1}}| = \sqrt{(-34,64)^2 + (-20,0)^2} \approx 40,0 \, \text{N} \]Per la partícula 2: \[\vec{F}_{\text{mitjana, 2}} = -\vec{F}_{\text{mitjana, 1}} = 34,64\hat{i} + 20,0\hat{j} \, \text{N}\]

Resposta:

• Partícula 1: \(-34,6\hat{i} – 20,0\hat{j} \, \text{N}\), mòdul \(40,0 \, \text{N}\)

• Partícula 2: \(34,6\hat{i} + 20,0\hat{j} \, \text{N}\), mòdul \(40,0 \, \text{N}\)