Càlcul de l’Energia de Configuració d’un Sistema de Càrregues Puntuals

Siguin els punts del pla $P_1 = (2, 1)$, $P_2 = (-2, 1)$ i $P_3 = (0, 5)$ amb càrregues sobre ells de valor $q_1 = 3 \, \text{nC}$, $q_2 = -4 \, \text{nC}$ i $q_3 = 7 \, \text{nC}$. Es demana calcular l’energia de configuració d’aquest sistema.

Per calcular el treball total necessari per portar les càrregues $q_1 = 3 \, \text{nC}$, $q_2 = -4 \, \text{nC}$ i $q_3 = 7 \, \text{nC}$ des de l’infinit fins als punts $P_1 = (2, 1)$, $P_2 = (-2, 1)$ i $P_3 = (0, 5)$, respectivament, seguim el procés descrit i revisem els càlculs per obtenir l’energia de configuració del sistema.

1. Treball per portar $q_1$ a $P_1$

Com que no hi ha altres càrregues presents inicialment, el potencial electroestàtic a $P_1$ és zero ($V_{P_1} = 0$), i el potencial a l’infinit és $V_\infty = 0$. Per tant, el treball és:
$$W_1 = q_1 (V_{P_1} – V_\infty) = 3 \cdot 10^{-9} \cdot (0 – 0) = 0 \, \text{J}.$$

2. Treball per portar $q_2$ a $P_2$

Quan $q_2$ arriba a $P_2$, només hi ha $q_1$ a $P_1$, que crea un potencial a $P_2$. Calculem la distància entre $P_1$ i $P_2$:
$$\overrightarrow{P_1 P_2} = P_2 – P_1 = (-2 – 2, 1 – 1) = (-4, 0).$$
Mòdul:
$$|\overrightarrow{P_1 P_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4.$$
El potencial creat per $q_1$ a $P_2$ és:
$$V^{q_1}{P_2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{|\overrightarrow{P_1 P_2}|} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-9}}{4} = \frac{27}{4} = 6,75 \, \text{V}.$$ El treball per portar $q_2$ és: $$W_2 = q_2 (V{P_2} – V_\infty) = -4 \cdot 10^{-9} \cdot \left( \frac{27}{4} – 0 \right) = -4 \cdot 10^{-9} \cdot 6,75 = -2,7 \cdot 10^{-8} \, \text{J}.$$

3. Treball per portar $q_3$ a $P_3$

Quan $q_3$ arriba a $P_3$, hi ha $q_1$ a $P_1$ i $q_2$ a $P_2$, que creen un potencial a $P_3$. Calculem les distàncies:

• Per $\overrightarrow{P_1 P_3}$:
  $$\overrightarrow{P_1 P_3} = P_3 – P_1 = (0 – 2, 5 – 1) = (-2, 4).$$
  Mòdul:
  $$|\overrightarrow{P_1 P_3}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$$
• Per $\overrightarrow{P_2 P_3}$:
  $$\overrightarrow{P_2 P_3} = P_3 – P_2 = (0 – (-2), 5 – 1) = (2, 4).$$
  Mòdul:
  $$|\overrightarrow{P_2 P_3}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$$
  El potencial a $P_3$ té dues contribucions:
  $$V_{P_3} = V^{q_1}{P_3} + V^{q_2}{P_3} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{|\overrightarrow{P_1 P_3}|} + \frac{q_2}{|\overrightarrow{P_2 P_3}|} \right).$$
  Substituïm:
  $$V_{P_3} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} + \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} \right) = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-9} – 4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-1 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}}.$$
  Calculem:
  $$\sqrt{20} \approx 4,472, \quad \frac{-1 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}} \approx \frac{-1 \cdot 10^{-9}}{4,472} \approx -2,236 \cdot 10^{-10}.$$
  $$V_{P_3} = 9 \cdot 10^9 \cdot (-2,236 \cdot 10^{-10}) \approx -2,012 \, \text{V}.$$
  El treball per portar $q_3$ és:
  $$W_3 = q_3 (V_{P_3} – V_\infty) = 7 \cdot 10^{-9} \cdot (-2,012 – 0) \approx 7 \cdot 10^{-9} \cdot (-2,012) = -1,4084 \cdot 10^{-8} \, \text{J}.$$

4. Treball total i energia de configuració

El treball total és la suma:
$$W_T = W_1 + W_2 + W_3 = 0 + (-2,7 \cdot 10^{-8}) + (-1,4084 \cdot 10^{-8}) = -4,1084 \cdot 10^{-8} \, \text{J}.$$
Aquest treball total correspon a l’energia de configuració del sistema de càrregues.

Resposta final

L’energia de configuració del sistema és:
$$W_T = -4,108 \cdot 10^{-8} \, \text{J}.$$