Treball d’una força inclinada amb fregament

Un objecte de massa \( m = 5 \, \text{kg} \) inicialment en repòs és estirat per una força \( F = 50 \, \text{N} \) que forma un angle de \( \theta = 30^\circ \) amb l’horitzontal, al llarg d’una distància \( d = 8 \, \text{m} \) sobre una superfície amb un coeficient de fregament \( \mu = 0,2 \). Calculeu: (a) El treball total realitzat per la força \( F \).  (b) El treball de la força de fregament.  (c) La velocitat final de l’objecte.

Les dades són: \( m = 5 \, \text{kg} \), \( F = 50 \, \text{N} \), \( \theta = 30^\circ \), \( d = 8 \, \text{m} \), \( \mu = 0,2 \), \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \).  

(a) El treball de la força \( F \) es calcula amb la component horitzontal:  

\[F_x = F \cos \theta = 50 \cdot \cos 30^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 43,30 \, \text{N}.\]

\[W_F = F_x \cdot d = 43,30 \cdot 8 \approx 346,4 \, \text{J}.\]

(b) Per calcular el treball de la força de fregament, primer trobem la força normal:  

\[F_y = F \sin \theta = 50 \cdot \sin 30^\circ = 25 \, \text{N}.\]

\[N + F_y – mg = 0 \implies N = mg – F_y = 5 \cdot 9,8 – 25 = 49 – 25 = 24 \, \text{N}.\]

\[F_f = \mu N = 0,2 \cdot 24 = 4,8 \, \text{N}.\]

El treball de la força de fregament (\( \theta = 180^\circ \)):  

\[W_f = F_f \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 4,8 \cdot 8 \cdot (-1) = -38,4 \, \text{J}.\]

(c) Per la velocitat final, usem el teorema de les forces vives: \( W_{\text{net}} = \Delta E_c \).  

\[W_{\text{net}} = W_F + W_f = 346,4 – 38,4 = 308 \, \text{J}.\]

\[\Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 \implies 308 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot v_f^2 \implies v_f^2 = \frac{308 \cdot 2}{5} = 123,2 \implies v_f \approx 11,10 \, \text{m/s}.\]

$\textbf{Resposta:}$  

(a) \( W_F \approx 346,4 \, \text{J} \).  

(b) \( W_f \approx -38,4 \, \text{J} \).  

(c) \( v_f \approx 11,10 \, \text{m/s} \).