Càlcul de les forces, acceleració, velocitat i treball en un objecte estirat

Estirem un objecte de massa $m = 10 \, \text{kg}$ que es trobava en repòs, amb una força $F = 80 \, \text{N}$ que forma un angle $\alpha = 30^\circ$ amb l’horitzontal al llarg d’una distància $d = 10 \, \text{m}$ sobre una superfície que té un coeficient de fregament $\mu = 0,2$. Es demana calcular l’acceleració amb què es mou, la velocitat final, la força normal que pateix el cos i el treball que fa cada força que actua sobre el cos.

Dades inicials:

• Massa: $m = 10 \, \text{kg}$.
• Força aplicada: $F = 80 \, \text{N}$.
• Angle: $\alpha = 30^\circ$.
• Distància: $d = 10 \, \text{m}$.
• Coeficient de fregament: $\mu = 0,2$.
• Acceleració gravitacional: $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.
• Velocitat inicial: $v_0 = 0 \, \text{m/s}$.

1. Força normal ($N$)

Les forces en la direcció vertical es balancen ($\sum F_y = 0$), ja que no hi ha acceleració vertical. Les forces verticals són:

• Component vertical de $F$: $F_y = F \sin \alpha = 80 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot 0,5 = 40 \, \text{N}$ (cap amunt).
• Pes: $P = m g = 10 \cdot 9,8 = 98 \, \text{N}$ (cap avall).
• Força normal: $N$ (cap amunt).

Equació:
$$N + F_y – P = 0 \implies N + 40 – 98 = 0 \implies N = 98 – 40 = 58 \, \text{N}.$$

Força normal: $N = 58 \, \text{N}$.

2. Acceleració ($a$)

Calculem la força neta en la direcció horitzontal ($\sum F_x = m a$). Les forces horitzontals són:

• Component horitzontal de $F$: $$F_x = F \cos \alpha = 80 \cdot \cos 30^\circ = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 69,28 \, \text{N}$$.
• Força de fregament: $F_f = \mu N = 0,2 \cdot 58 = 11,6 \, \text{N}$ (en sentit contrari al moviment).

Força neta:
$$F_{\text{neta}} = F_x – F_f = 69,28 – 11,6 = 57,68 \, \text{N}.$$

Acceleració:
$$a = \frac{F_{\text{neta}}}{m} = \frac{57,68}{10} \approx 5,77 \, \text{m/s}^2.$$

Acceleració: $\approx 5,77 \, \text{m/s}^2$.

3. Velocitat final ($v_f$)

Usem l’equació de la cinemàtica:
$$v_f^2 = v_0^2 + 2 a d.$$
Substituïm:
$$v_f^2 = 0 + 2 \cdot 5,77 \cdot 10 \approx 115,4 \implies v_f = \sqrt{115,4} \approx 10,74 \, \text{m/s}.$$

Velocitat final: $\approx 10,74 \, \text{m/s}$.

4. Treball de cada força

El treball es calcula com $W = F \cdot d \cdot \cos \theta$, on $\theta$ és l’angle entre la força i el desplaçament.

• Treball de la força aplicada ($F$):
  Només la component horitzontal de $F$ fa treball, ja que el desplaçament és horitzontal:
  $$W_F = F_x \cdot d = 69,28 \cdot 10 \approx 692,8 \, \text{J}.$$
• Treball de la força de fregament ($F_f$):
  La força de fregament actua en sentit contrari al desplaçament ($\theta = 180^\circ$, $\cos 180^\circ = -1$):
  $$W_f = F_f \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 11,6 \cdot 10 \cdot (-1) = -116 \, \text{J}.$$
• Treball de la força normal ($N$):
  La força normal és perpendicular al desplaçament ($\theta = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$):
  $$W_N = N \cdot d \cdot \cos 90^\circ = 58 \cdot 10 \cdot 0 = 0 \, \text{J}.$$
• Treball del pes ($P$):
  El pes també és perpendicular al desplaçament ($\theta = 90^\circ$):
  $$W_P = P \cdot d \cdot \cos 90^\circ = 98 \cdot 10 \cdot 0 = 0 \, \text{J}.$$

Treball de cada força:

• Força aplicada: $\approx 692,8 \, \text{J}$.
• Força de fregament: $\approx -116 \, \text{J}$.
• Força normal: $0 \, \text{J}$.
• Pes: $0 \, \text{J}$.

Resposta final:

• Força normal: $58 \, \text{N}$.
• Acceleració: $\approx 5,77 \, \text{m/s}^2$.
• Velocitat final: $\approx 10,74 \, \text{m/s}$.
• Treball:
• Força aplicada: $\approx 692,8 \, \text{J}$.
• Força de fregament: $\approx -116 \, \text{J}$.
• Força normal: $0 \, \text{J}$.
• Pes: $0 \, \text{J}$.