Treball contra el fregament en un pla inclinat

Un bloc de massa $m = 4 \, \text{kg}$ llisca cap avall per un pla inclinat de $\theta = 30^\circ$ amb un coeficient de fregament $\mu = 0,3$, des d’una altura inicial de $h = 5 \, \text{m}$. Calculeu: (a) El treball fet per la força de fregament. (b) La velocitat del bloc quan arriba a la base del pla.

Les dades són: $m = 4 \, \text{kg}$, $\theta = 30^\circ$, $\mu = 0,3$, $h = 5 \, \text{m}$, $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.

La distància recorreguda al llarg del pla és:
$$d = \frac{h}{\sin \theta} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{0,5} = 10 \, \text{m}.$$

(a) Força normal:
$$N = m g \cos \theta = 4 \cdot 9,8 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot 9,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 33,94 \, \text{N}.$$
Força de fregament:
$$F_f = \mu N = 0,3 \cdot 33,94 \approx 10,18 \, \text{N}.$$
Treball de la força de fregament ($\theta = 180^\circ$):
$$W_f = F_f \cdot d \cdot \cos 180^\circ = 10,18 \cdot 10 \cdot (-1) \approx -101,8 \, \text{J}.$$

(b) Usem la conservació de l’energia amb treball no conservatiu:

\[\Delta E_m = W_f\]On:\[\Delta E_m = E_{m,\text{final}} – E_{m,\text{inicial}}\]

\[v^2 = \frac{2(196 – 101,9)}{4} = \frac{2 \cdot 94,1}{4} = \frac{188,2}{4} = 47,05\]\[v = \sqrt{47,05} \approx 6,86 \, \text{m/s}\]

Resposta: La velocitat del bloc quan arriba a la base del pla inclinat és:\[v \approx 6,86 \, \text{m/s}\]

$\textbf{Resposta:}$
(a) $W_f \approx -101,8 \, \text{J}$.
(b) $v \approx 6.86 \, \text{m/s}$.