Trajectòria d’un Electró en un Camp Elèctric Uniforme

Una placa conductora carregada positivament crea a la seva vora un camp elèctric uniforme $E = 1000 \, \text{V/m}$, tal com es mostra a la figura. Des d’un punt de la placa es llança un electró amb una velocitat inicial $v_0 = 10^7 \, \text{m/s}$ formant un angle de $\theta = 60^\circ$ amb la placa, de manera que l’electró descriurà una trajectòria com la indicada a la figura. [a] Al punt A, el més allunyat de la placa, quin és la velocitat amb què es mou l’electró? Respecte al punt inicial, quant ha variat la seva energia potencial electrostàtica? Calcula la distància $d$ entre el punt A i la placa. [b] Determina la velocitat (mòdul i orientació) de l’electró quan xoca amb la placa (punt B).

DADES: $e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}$, $m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{kg}$

[a] Sobre l’electró està actuant una força, vertical i cap avall, de mòdul $eE$, sent $e$ el valor absolut de la càrrega de l’electró; l’acceleració, també vertical i cap avall, de l’electró val $a_y = \frac{eE}{m_e}$. Si es pren com a origen de coordenades la posició inicial de l’electró, la posició de l’electró, en qualsevol instant, està donada per:
$$\begin{cases}
x = v_{0x} t = (v_0 \cos \theta) t \\
y = v_{0y} t – \frac{1}{2} a_y t^2 = (v_0 \sin \theta) t – \frac{1}{2} \frac{eE}{m_e} t^2
\end{cases}$$
Les components de la velocitat instantània de l’electró són:
$$\begin{cases}
v_x = v_{0x} = v_0 \cos \theta \\
v_y = v_{0y} – a_y t = v_0 \sin \theta – \frac{eE}{m_e} t
\end{cases}$$
Al punt A, la component $y$ de la velocitat és nul·la, per la qual cosa en aquest punt la velocitat de l’electró és:
$$v_A = v_x = v_0 \cos \theta = 5 \times 10^6 \, \text{m/s}$$

[b] En primer lloc, calculem el temps que tarda l’electró a tornar a la placa; es deu complir, doncs, que $y = 0$; és a dir, $(v_0 \sin \theta) t – \frac{1}{2} \frac{eE}{m_e} t^2 = 0$, equació que, a més de l’evident $t = 0$, té la solució:
$$t = \frac{2 m_e v_0 \sin \theta}{eE} = \frac{2 \times 9,1 \times 10^{-31} \times 10^7 \times \sin 60^\circ}{1,6 \times 10^{-19} \times 10^3} = 9,9 \times 10^{-8} \, \text{s}$$
Les components de la velocitat en aquest instant són:
$$\begin{cases}
v_x = 10^7 \cos 60^\circ = 5 \times 10^6 \, \text{m/s} \\
v_y = 10^7 \sin 60^\circ – 1,8 \times 10^{14} \times 9,9 \times 10^{-8} = -9,1 \times 10^6 \, \text{m/s}
\end{cases}$$
El mòdul de la velocitat en el punt B és:
$$v_B = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5 \times 10^6)^2 + (-9,1 \times 10^6)^2} = 10^7 \, \text{m/s}$$
Aquest valor coincideix amb el de la velocitat inicial; això és degut al fet que l’energia mecànica es conserva.
Aquesta velocitat forma amb l’horitzontal un angle tal que:
$$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{-9,1 \times 10^6}{5 \times 10^6} = -1,82$$
$$\alpha = -61^\circ \, \approx \, -60^\circ$$