Determinació del Valor de m per a un Extrem Relatiu de la Funció

Es demana trobar el valor de $\mu$ per tal que la funció $f(x) = x^3 – 2\mu x + 4$ presenti un extrem relatiu en el punt $x = 2$. A més, cal determinar si es tracta d’un màxim o d’un mínim.

Passos:

1. Condició per a un extrem relatiu:
   Perquè $x = 2$ sigui un extrem relatiu, la derivada primera de la funció ha de ser zero en aquest punt: $f'(2) = 0$.
2. Calculem la derivada primera:
   La funció és $f(x) = x^3 – 2\mu x + 4$. Derivem:
   $$f'(x) = 3x^2 – 2\mu$$
3. Igualem la derivada a zero en $x = 2$:
   $$f'(2) = 3(2)^2 – 2\mu = 0$$
   $$3 \cdot 4 – 2\mu = 0$$
   $$12 – 2\mu = 0$$
   $$2\mu = 12$$
   $$\mu = 6$$ Per tant, $\mu = 6$.
4. Determinem si és un màxim o un mínim:
   Utilitzem el criteri de la derivada segona. Calculem $f”(x)$:
   $$f”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 2\mu) = 6x$$ Avaluem $f”(x)$ en $x = 2$:
   $$f”(2) = 6 \cdot 2 = 12$$ Com que $f”(2) = 12 > 0$, el punt $x = 2$ és un mínim relatiu (ja que la concavitat és positiva).

Resposta final:

El valor de $\mu$ és $\mu = 6$, i el punt $x = 2$ correspon a un mínim relatiu.