Aplicació el teorema de Rolle

La funció \( f(x) = 1 – |x| \) si \( x \in [-2, 2] \) verifica \( f(-2) = f(2) \). Justifica si és possible trobar algun \( c \in (-2, 2) \) tal que \( f'(c) = 0 \).

\[f(x) = 1 – |x| = \begin{cases} 1 + x & \text{si } -2 \leq x < 0 \\1 – x & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}\]

El teorema de Rolle diu que si \( f \) és contínua en \([a, b]\), derivable en \((a, b)\) i \( f(a) = f(b) \), existeix un \( c \in (a, b) \) tal que \( f'(c) = 0 \).Comprovarem si la funció \( f \) compleix les hipòtesis del teorema de Rolle en l’interval \([-2, 2]\):

• Veiem si \( f \) és contínua en \( x = 0 \): \[ \lim_{x \to 0^-} 1 + x = 1 \quad \text{i} \quad \lim_{x \to 0^+} 1 – x = 1 \] \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1 \] \( f \) és contínua en \([-2, 2]\).

• Estudiem la derivabilitat de \( f \): \[ f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 0 \\ -1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \] \( f'(1^-) \neq f'(1^+) \). \( f \) no és derivable en \( x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( f \) no és derivable en \((-2, 2)\).

• \( f \) no compleix les hipòtesis del teorema de Rolle; per tant, no podem assegurar que existeixi un \( c \in (-2, 2) \) tal que \( f'(c) = 0 \).