Concentració de sucre no alterat en el procés d’inversió

En el procés de conservació dels aliments, la canya de sucre experimenta una inversió convertint-se en una barreja de dos sucres més senzills: glucosa i fructosa. En solució diluïda, la taxa d’inversió es proporcional a la concentració \( y(t) \) de sucre no alterat. Si la concentració és de \( \frac{1}{50} \) en \( t = 0 \) i de \( \frac{1}{200} \) després de 3 hores, obtenir la concentració de sucre no alterat després de 6 i 12 hores.

Aquest problema tracta d’un procés de descomposició on la taxa de canvi de la concentració \( y(t) \) de sucre no alterat és proporcional a la mateixa concentració, és a dir, segueix una equació diferencial del tipus:\[\frac{dy}{dt} = -k \cdot y\]on \( k > 0 \) és la constant de proporcionalitat. Aquesta equació té una solució de la forma:\[y(t) = y(0) \cdot e^{-kt}\]

Pas 1: Determinar els valors inicials i trobar \( k \). Sabem que:- A \( t = 0 \), \( y(0) = \frac{1}{50} \),- A \( t = 3 \), \( y(3) = \frac{1}{200} \).Substituint a la solució:\[y(3) = y(0) \cdot e^{-k \cdot 3}\]\[\frac{1}{200} = \frac{1}{50} \cdot e^{-3k}\]\[e^{-3k} = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{50}} = \frac{1/200}{1/50} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}\]Aplicant el logaritme natural:\[-3k = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln 4\]\[k = \frac{\ln 4}{3}\]Com que \( \ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2 \), i \( \ln 2 \approx 0.6931 \), tenim:\[\ln 4 = 2 \cdot 0.6931 \approx 1.3862\]\[k = \frac{1.3862}{3} \approx 0.4621\]

Pas 2: Expressió general de \( y(t) \). Ara que coneixem \( k \), la concentració en funció del temps és:\[y(t) = y(0) \cdot e^{-kt} = \frac{1}{50} \cdot e^{-kt} = \frac{1}{50} \cdot e^{-\frac{\ln 4}{3} t}\]Com que \( e^{-\frac{\ln 4}{3} t} = (e^{\ln 4})^{-\frac{t}{3}} = 4^{-\frac{t}{3}} \), podem escriure:\[y(t) = \frac{1}{50} \cdot 4^{-\frac{t}{3}}\]

Pas 3: Calcular \( y(t) \) per \( t = 6 \) i \( t = 12 \)

• Per \( t = 6 \): \[y(6) = \frac{1}{50} \cdot 4^{-\frac{6}{3}} = \frac{1}{50} \cdot 4^{-2}\]\[4^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad 4^{-2} = \frac{1}{16}\]\[y(6) = \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{50 \cdot 16} = \frac{1}{800}\]

• Per \( t = 12 \): \[y(12) = \frac{1}{50} \cdot 4^{-\frac{12}{3}} = \frac{1}{50} \cdot 4^{-4}\]\[4^4 = 256 \quad \Rightarrow \quad 4^{-4} = \frac{1}{256}\]\[y(12) = \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{50 \cdot 256} = \frac{1}{12800}\]

Resposta final:

• Després de 6 hores, la concentració de sucre no alterat és \( \frac{1}{800} \).

• Després de 12 hores, la concentració de sucre no alterat és \( \frac{1}{12800} \).