Un topògraf mesura l’angle d’elevació fins al cim d’un turó des d’un punt i obté $55^\circ$. Avança $40$ m cap al turó i l’angle augmenta a $70^\circ$. Quina és l’alçada del turó?

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada del turó
• $x$: distància inicial des del punt de mesura a la base del turó

Primer punt (angle de 55°):

$$\tan 55^\circ = \frac{h}{x}
\quad\Rightarrow\quad
h = x \tan 55^\circ$$

Després d’avançar 40 m (angle de 70°):

La nova distància és $x – 40$

$$\tan 70^\circ = \frac{h}{x – 40}$$

Substituïm $h = x\tan 55^\circ$:

$$\tan 70^\circ = \frac{x\tan 55^\circ}{x – 40}$$

🟩 Resolució de l’equació

$$(x – 40)\tan 70^\circ = x \tan 55^\circ$$

$$x\tan 70^\circ – 40\tan 70^\circ = x \tan 55^\circ$$

$$x(\tan 70^\circ – \tan 55^\circ) = 40\tan 70^\circ$$

$$x = \frac{40\tan 70^\circ}{\tan 70^\circ – \tan 55^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors aproximats:

• $\tan 70^\circ \approx 2.747$
• $\tan 55^\circ \approx 1.428$

$$x \approx \frac{40 \cdot 2.747}{2.747 – 1.428}$$

$$x \approx \frac{109.88}{1.319} \approx 83.33\ \text{m}$$

Ara l’alçada:

$$h = x\tan 55^\circ \approx 83.33 \cdot 1.428 \approx 119.0\ \text{m}$$

✅ Alçada del turó:

$$\boxed{h \approx 119\ \text{m}}$$