Des d’una distància inicial, l’angle d’elevació fins a la cima d’un far és de $20^\circ$. Si s’avança $60$ m cap al far, l’angle esdevé $35^\circ$. Calcula l’alçada del far.

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada del far
• $x$: distància inicial fins a la base del far

Primer punt (angle de 20°):

$$\tan 20^\circ = \frac{h}{x}
\quad\Rightarrow\quad
h = x \tan 20^\circ$$

Després d’avançar 60 m (angle de 35°):

Nova distància: $x – 60$

$$\tan 35^\circ = \frac{h}{x – 60}$$

Substituïm $h = x \tan 20^\circ$:

$$\tan 35^\circ = \frac{x \tan 20^\circ}{x – 60}$$

🟩 Resolució de l’equació

$$(x – 60)\tan 35^\circ = x \tan 20^\circ$$

$$x\tan 35^\circ – 60\tan 35^\circ = x \tan 20^\circ$$

$$x(\tan 35^\circ – \tan 20^\circ) = 60\tan 35^\circ$$

$$x = \frac{60\tan 35^\circ}{\tan 35^\circ – \tan 20^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors:

• $\tan 35^\circ \approx 0.7002$
• $\tan 20^\circ \approx 0.3639$

$$x \approx \frac{60 \cdot 0.7002}{0.7002 – 0.3639}$$

$$x \approx \frac{42.012}{0.3363} \approx 124.96\ \text{m}$$

Ara l’alçada:

$$h = x \tan 20^\circ \approx 124.96 \cdot 0.3639 \approx 45.5\ \text{m}$$

✅ Alçada del far:

$$\boxed{h \approx 45.5\ \text{m}}$$