Un estudiant mesura l’angle d’elevació fins al capdamunt d’una estàtua i registra $65^\circ$. Retrocedeix $12$ m i l’angle baixa a $50^\circ$. Determina l’alçada de l’estàtua.

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada de l’estàtua
• $x$: distància inicial de l’estudiant a la base de l’estàtua

Primer punt (angle de 65°):

$$\tan 65^\circ = \frac{h}{x}
\quad\Rightarrow\quad
h = x\tan 65^\circ$$

Després de retrocedir 12 m (angle de 50°):

La nova distància és $x + 12$

$$\tan 50^\circ = \frac{h}{x+12}$$

Substituïm $h = x\tan 65^\circ$:

$$\tan 50^\circ = \frac{x\tan 65^\circ}{x+12}$$

🟩 Resolució

$$(x+12)\tan 50^\circ = x\tan 65^\circ$$

$$x\tan 50^\circ + 12\tan 50^\circ = x\tan 65^\circ$$

$$x(\tan 65^\circ – \tan 50^\circ) = 12\tan 50^\circ$$

$$x = \frac{12\tan 50^\circ}{\tan 65^\circ – \tan 50^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors aproximats:

• $\tan 65^\circ \approx 2.1445$
• $\tan 50^\circ \approx 1.1918$

$$x \approx \frac{12 \cdot 1.1918}{2.1445 – 1.1918}$$

$$x \approx \frac{14.3016}{0.9527} \approx 15.01\ \text{m}$$

Ara calculem l’alçada:

$$h = x\tan 65^\circ \approx 15.01 \cdot 2.1445 \approx 32.17\ \text{m}$$

✅ Alçada de l’estàtua:

$$\boxed{h \approx 32.2\ \text{m}}$$