Per conèixer l’alçada d’una xemeneia, es mesura un angle d’elevació de $48^\circ$ des d’un punt. S’avança $18$ m i l’angle puja a $62^\circ$. Quina és l’alçada de la xemeneia?

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada de la xemeneia
• $x$: distància inicial fins a la base

Primer punt (angle de 48°):

$$\tan 48^\circ = \frac{h}{x}
\Rightarrow
h = x\tan 48^\circ$$

Després d’avançar 18 m:

Nova distància: $x – 18$

$$\tan 62^\circ = \frac{h}{x – 18}$$

Substituïm l’expressió de $h$:

$$\tan 62^\circ = \frac{x\tan 48^\circ}{x – 18}$$

🟩 Resolució

$$(x – 18)\tan 62^\circ = x\tan 48^\circ$$

$$x\tan 62^\circ – 18\tan 62^\circ = x\tan 48^\circ$$

$$x(\tan 62^\circ – \tan 48^\circ) = 18\tan 62^\circ$$

$$x = \frac{18\tan 62^\circ}{\tan 62^\circ – \tan 48^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors aproximats:

• $\tan 62^\circ \approx 1.8807$
• $\tan 48^\circ \approx 1.1106$

$$x \approx \frac{18 \cdot 1.8807}{1.8807 – 1.1106}$$

$$x \approx \frac{33.8526}{0.7701} \approx 43.95\ \text{m}$$

Ara trobem l’alçada:

$$h = x\tan 48^\circ \approx 43.95 \cdot 1.1106 \approx 48.82\ \text{m}$$

✅ Alçada de la xemeneia:

$$\boxed{h \approx 48.8\ \text{m}}$$