Des d’un punt a terra, l’angle fins a la cima d’un pal de telecomunicacions és de $38^\circ$. Si ens allunyem $35$ m, l’angle es redueix a $25^\circ$. Calcula l’alçada del pal.

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada del pal de telecomunicacions
• $x$: distància inicial fins a la base del pal

Primer punt (angle de 38°):

$$\tan 38^\circ = \frac{h}{x}
\Rightarrow
h = x\tan 38^\circ$$

Després d’allunyar-nos 35 m:

Nova distància: $x + 35$

$$\tan 25^\circ = \frac{h}{x + 35}$$

Substituïm l’expressió de $h$:

$$\tan 25^\circ = \frac{x \tan 38^\circ}{x + 35}$$

🟩 Resolució

$$(x + 35)\tan 25^\circ = x\tan 38^\circ$$

$$x\tan 25^\circ + 35\tan 25^\circ = x\tan 38^\circ$$

$$x(\tan 38^\circ – \tan 25^\circ) = 35\tan 25^\circ$$

$$x = \frac{35\tan 25^\circ}{\tan 38^\circ – \tan 25^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors aproximats:

• $\tan 38^\circ \approx 0.7813$
• $\tan 25^\circ \approx 0.4663$

$$x \approx \frac{35 \cdot 0.4663}{0.7813 – 0.4663}$$

$$x \approx \frac{16.3205}{0.3150} \approx 51.8\ \text{m}$$

Ara calculem l’alçada:

$$h = x\tan 38^\circ \approx 51.8 \cdot 0.7813 \approx 40.5\ \text{m}$$

✅ Alçada del pal de telecomunicacions:

$$\boxed{h \approx 40.5\ \text{m}}$$