Un enginyer vol determinar l’alçada d’un pont suspès. Des d’un punt, l’angle d’elevació fins al punt més alt és de $42^\circ$. Avança $50$ m cap al pont i l’angle augmenta a $58^\circ$. Quina és l’alçada màxima del pont?

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada màxima del pont
• $x$: distància inicial fins a la base del pont

Primer punt (angle de 42°):

$$\tan 42^\circ = \frac{h}{x}
\quad\Rightarrow\quad
h = x\tan 42^\circ$$

Després d’avançar 50 m:

Nova distància: $x – 50$

$$\tan 58^\circ = \frac{h}{x – 50}$$

Substituïm $h = x \tan 42^\circ$:

$$\tan 58^\circ = \frac{x\tan 42^\circ}{x – 50}$$

🟩 Resolució

$$(x – 50)\tan 58^\circ = x\tan 42^\circ$$

$$x\tan 58^\circ – 50\tan 58^\circ = x\tan 42^\circ$$

$$x(\tan 58^\circ – \tan 42^\circ) = 50\tan 58^\circ$$

$$x = \frac{50\tan 58^\circ}{\tan 58^\circ – \tan 42^\circ}$$

🟩 Càlcul numèric

Valors:

• $\tan 58^\circ \approx 1.6003$
• $\tan 42^\circ \approx 0.9004$

$$x \approx \frac{50 \cdot 1.6003}{1.6003 – 0.9004}$$

$$x \approx \frac{80.015}{0.6999} \approx 114.3\ \text{m}$$

Ara calculem l’alçada:

$$h = x\tan 42^\circ \approx 114.3 \cdot 0.9004 \approx 102.9\ \text{m}$$

✅ Alçada màxima del pont:

$$\boxed{h \approx 103\ \text{m}}$$