Per mesurar l’alçada d’un arbre, una persona es col·loca a un punt on veu la cima amb un angle de $50^\circ$. S’aparta $10$ m i l’angle passa a ser de $35^\circ$. Calcula l’alçada de l’arbre.

🟩 Plantejament

Siguin:

• $h$: alçada de l’arbre
• $x$: distància inicial de la persona a la base de l’arbre

Des del primer punt:

$$\tan 50^\circ = \frac{h}{x}
\Rightarrow
h = x \tan 50^\circ$$

Després d’allunyar-se $10$ m:

Nova distància: $x + 10$

$$\tan 35^\circ = \frac{h}{x+10}$$

Substituïm $h = x\tan 50^\circ$:

$$\tan 35^\circ = \frac{x\tan 50^\circ}{x+10}$$

🟩 Resolució de l’equació

$$(x+10)\tan 35^\circ = x \tan 50^\circ$$

$$x\tan 35^\circ + 10\tan 35^\circ = x\tan 50^\circ$$

$$x(\tan 50^\circ – \tan 35^\circ) = 10\tan 35^\circ$$

$$x = \frac{10\tan 35^\circ}{\tan 50^\circ – \tan 35^\circ}$$

Calculem valors numèrics (aprox.):

• $\tan 50^\circ \approx 1.1918$
• $\tan 35^\circ \approx 0.7002$

$$x \approx \frac{10 \cdot 0.7002}{1.1918 – 0.7002}$$

$$x \approx \frac{7.002}{0.4916} \approx 14.25 \text{ m}$$

Ara trobem l’alçada:

$$h = x \tan 50^\circ \approx 14.25 \cdot 1.1918 \approx 16.99 \text{ m}$$

✅ Alçada aproximada de l’arbre:

$$\boxed{h \approx 17,\text{m}}$$