Tensió normal de tracció

Calcula la tensió normal de tracció que estan sotmesos els elements dels apartats seguents que han de soportar el pes d’una marquesina de massa $m= 780$ kg. a) Barra de secció rectarngualr $10×15$ b) Tub de diamtere $45$ mm amb gruix de $2$ mm c) Tub de secció rectangular de $200×80$ i gruix de $1.5$ mm

Per calcular la tensió normal de tracció a la qual estan sotmesos els elements que han de suportar el pes de la marquesina, primer cal entendre que la tensió normal es pot expressar com:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

On:

• $\sigma$ és la tensió (en pascals, Pa).
• $F$ és la força aplicada (en newtons, N).
• $A$ és l’àrea de la secció transversal (en m$^2$).

La força $F$ prové del pes de la marquesina, que es pot calcular com:

$$F = m \cdot g$$

On:

• $m = 780 \, \text{kg}$ és la massa de la marquesina.
• $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ és l’acceleració de la gravetat.

Primer calculem la força total:

$$F = 780 \cdot 9.81 = 7641.8 \, \text{N}$$

Ara, calculem la tensió per a cada element.

a) Barra de secció rectangular de $10$ mm x $15$ mm

L’àrea de la secció rectangular és:

$$A = 10 \cdot 15 = 150 \, \text{mm}^2 = 150 \cdot 10^{-6} \, \text{m}^2 = 1.5 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2$$

La tensió normal serà:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{7641.8}{1.5 \cdot 10^{-4}} = 50.945 \, \text{MPa}$$

b) Tub de diàmetre $45$ mm amb gruix de $2$ mm

Per un tub circular, l’àrea de la secció transversal és la diferència entre l’àrea de l’anell extern i l’intern:

$$A = \pi \left( \left(\frac{d_\text{extern}}{2}\right)^2 – \left(\frac{d_\text{intern}}{2}\right)^2 \right)$$

On:

• $d_\text{extern} = 45 \, \text{mm}$
• $d_\text{intern} = 45 \, \text{mm} – 2 \times 2 \, \text{mm} = 41 \, \text{mm}$

L’àrea serà:

$$A = \pi \left( \left(\frac{45}{2}\right)^2 – \left(\frac{41}{2}\right)^2 \right) = \pi \left( 22.5^2 – 20.5^2 \right) = \pi \left( 506.25 – 420.25 \right) = \pi \times 86 = 270.27 \, \text{mm}^2$$

Convertim a metres quadrats:

$$A = 270.27 \cdot 10^{-6} \, \text{m}^2 = 2.70 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2$$

La tensió normal serà:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{7641.8}{2.70 \cdot 10^{-4}} = 28.30 \, \text{MPa}$$

c) Tub de secció rectangular de $200$ mm x $80$ mm i gruix de $1.5$ mm

L’àrea d’un tub rectangular és la diferència entre l’àrea del rectangle extern i l’intern. Per tant, l’àrea és:

$$A = \left( b \cdot h – (b – 2 \cdot t) \cdot (h – 2 \cdot t) \right)$$

On:

• $b = 200 \, \text{mm}$ (ample extern)
• $h = 80 \, \text{mm}$ (alçada externa)
• $t = 1.5 \, \text{mm}$ (gruix)

Això ens dona:

$$A = \left( 200 \cdot 80 – (200 – 2 \cdot 1.5) \cdot (80 – 2 \cdot 1.5) \right) = \left( 16000 – 197 \cdot 77 \right) = 16000 – 15169 = 831 \, \text{mm}^2$$

Convertim a metres quadrats:

$$A = 831 \cdot 10^{-6} \, \text{m}^2 = 8.31 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2$$

La tensió normal serà:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{7641.8}{8.31 \cdot 10^{-4}} = 9.19 \, \text{MPa}$$

Resum de resultats:

• a) Barra rectangular ($10$ mm x $15$ mm): $\sigma = 50.945 \, \text{MPa}$
• b) Tub circular (diàmetre $45$ mm, gruix $2$ mm): $\sigma = 28.30 \, \text{MPa}$
• c) Tub rectangular ($200$ mm x $80$ mm, gruix $1.5$ mm): $\sigma = 9.19 \, \text{MPa}$