Temps de vida mitjana

A l’interior del recinte de la central nuclear de Springfield, en una zona contaminada permanentment amb 231Th, ha crescut una parra. Homer Simpson va a la parra i se’n menja nous. Vuit hores més tard, surt de la central nuclear i al cap de 48 hores mesura la seva radioactivitat, la qual conté un valor de 1,91·10⁶ Bq. Si cada nou conté, en el moment de ser collida, 1,50·10¹² àtoms de 231Th, calculeu: a) El temps de vida mitjana del 231Th i l’activitat inicial de cada nou. b) El nombre total de nous que ha ingerit Homer Simpson.

Dades: Massa atòmica del 231Th, $M_{231_{Th}} = 231u$, nombre d’Avogadro $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$. Període de semidesintegració del 231Th, $T_{1/2} = 25,5 \text{ hores}$.

La relació entre el temps de vida mitjana i el període de semivida és $\tau = T_{1/2}/\ln 2 = 36,82 \text{ h}$. Per calcular l’activitat en bequerels ho passem a segons, i queda $\tau = 1,33 \cdot 10^5 \text{ s}$.

Cada nou conté $\frac{1,5 \cdot 10^{12}}{231} \text{ moles de Th, que són } \frac{1,5 \cdot 10^{12}}{231} \cdot N_A = 3,9 \cdot 10^9 \text{ àtoms}$. L’activitat de $N \text{ àtoms}$ és

$$A = \lambda N = \frac{N}{\tau} = 2,95 \cdot 10^4 \text{ Bq}.$$

b. Després de vuit hores l’activitat d’una nou serà

$$A = A_0 e^{-t/\tau} = 2,95 \cdot 10^4 e^{-8/36,82} = 2,37 \cdot 10^4 \text{ Bq}.$$

Com que el senyor Simpson se n’ha menjat $n \text{ nous}$, la seva activitat després de vuit hores serà $n \cdot 2,37 \cdot 10^4 \text{ Bq}$. L’activitat que mesura és $1,91 \cdot 10^6 \text{ Bq}$, per la qual cosa podem concloure que Homer Simpson se n’ha menjat

$$n = \frac{1,91 \cdot 10^6}{2,37 \cdot 10^4} = 50.$$