Problema camp gravitatori

Dues masses de valor $m = 700 \, \text{kg}$ i una massa de valor $M = 3m = 2100 \, \text{kg}$ es troben en una circumferència de radi $R = 2 \, \text{m}$, tal com s’indica a la figura. (a) Calculeu l’energia potencial gravitacional d’una massa $m_0 = 400 \, \text{kg}$ si es col·loca al centre del cercle (punt $O$ de la figura). Utilitzeu la referència habitual per a l’energia potencial gravitacional de dues masses, que és nul·la quan estan separades una distància infinita. (b) Quina és la força gravitacional total exercida sobre la massa $m_0$ per les altres tres masses? Escriviu el resultat de forma vectorial. (c) Calculeu el treball realitzat per portar la massa $m_0$ des del punt $O$ fins al punt $A$, que correspon a la intersecció del semieix positiu $x$ amb la circumferència (vegeu figura).

Dades: Constant de gravitació universal: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}$.

a) La energia potencial d’una partícula de massa $m$ en un punt és $E_p = m V$, on $V$ és el potencial gravitatori en aquest punt. En el nostre cas, el potencial serà la suma dels potencials creats per les tres masses del cercle:

\begin{equation}
V = V_1 + V_2 + V_3 = -G \frac{m}{R} – G \frac{m}{R} – G \frac{M}{R} = -G \frac{2m + M}{R} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3500}{2} = -1,2 \cdot 10^{-7} \, \text{J/kg}.
\end{equation}

D’aquí, l’energia potencial és $E_p = m V = -4,8 \cdot 10^{-7} \, \text{J}$.

b) En primer lloc, per la simetria del problema sabem que la força tendrà una direcció vertical. Això ens estalvia haver de calcular les components horitzontals. Recordant que $\vec{F} = m \vec{g}$, comencem calculant el camp gravitatori al centre del cercle. El mòdul del camp creat per la massa $M$ és $|g| = G \frac{M}{R^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2100}{4} = 3,5 \cdot 10^{-8} \, \text{N/kg}$, i va cap avall, per tant $\vec{g}_M = -3,5 \cdot 10^{-8} \hat{j} \, \text{N/m}$.

En tant als creadors per a les masses m: els seus mòduls són $|g| = 1,2 \cdot 10^{-8} \, \text{N/kg}$. Les seves components verticals són $g_y = |g| \sin(80^\circ) = 1,15 \cdot 10^{-8}$ i les seves components horitzontals es cancel·len. Al sumatori, els camps creats per les masses $m$ són $\vec{g} = 2,3 \cdot 10^{-8} \hat{j} \, \text{N/kg}$. Sumant-ho amb el camp de la massa $M$,

$$\vec{g}_T = -1,2 \cdot 10^{-8} \hat{j} \, \text{N/m}, \quad \text{i la força que experimenta la massa del centre és } \vec{F} = -4,8 \cdot 10^{-8} \hat{j} \, \text{N/m}.$$

c) El treball necessari per aquest moviment és $W = \Delta E_p = m \Delta V = m (V_A – V_0)$. El potencial en $O$ l’hem calculat a l’apartat A). El potencial en $A$ se calcula igual. La distància entre $M$ i $A$ és, per Pitágoras, $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \text{m} = 2,82 \text{m}$, la distància des d’$A$ a la massa superior esquerra és $\sqrt{(2 + 2\cos 80^\circ)^2 + (2\sin 80^\circ)^2} = 3,06 \text{m}$, i la distància des d’$A$ a la massa superior dreta és $\sqrt{(2 – 2\cos 80^\circ)^2 + (2\sin 80^\circ)^2} = 2,57 \text{m}$. Substituint,

$$V_A = -G \left( \frac{2100}{2,82} + \frac{700}{3,06} + \frac{700}{2,57} \right) = -8,3 \cdot 10^{-8} \, \text{J/kg}.$$

Amb això, el treball necessari és

$$W = 4 (-8,3 \cdot 10^{-8} + 4,8 \cdot 10^{-7}) = 158 \cdot 10^{-7} \, \text{J}.$$