Càlcul de la velocitat de sortida d’un líquid

Una aixeta té una petita obertura circular de diàmetre $D$. D’ell cau un doll vertical d’un líquid incompresible. A $75$ cm per sota de la secció de sortida la vena líquida té un diàmetre $D/2$. Calcular la velocitat de sortida del líquid.

Apliquem el teorema de Bernoulli als punts 1, 2 d’una línia de corrent:\[P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\]Siguin: \(P_1 = P_2 =\) pressió atmosfèrica \(\rho \cdot\) densitat del líquid \(h_1\) i \(h_2\) les altures dels punts 1 i 2 respecte a un nivell \(v_1\) i \(v_2\) les velocitats del líquid en els punts 1 i 2.De l’equació obtenim:\[\rho g (h_1 – h_2) = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 – v_1^2)\]. Aplicant el teorema de continuïtat, per ser el fluid incompresible:\[S_1 v_1 = S_2 v_2\]\[\text{amb } S_1 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 \text{ i } S_2 = \pi \left(\frac{D/2}{2}\right)^2\]Tenim\[\pi \frac{D^2}{4} v_1 = \pi \frac{D^2}{16} v_2\]

D’aquí\[v_2 = 4 v_1\]Substituint en\[v_2^2 – v_1^2 = 2 g (h_1 – h_2)\]\[16 v_1^2 – v_1^2 = 2 g (h_1 – h_2)\]\[15 v_1^2 = 2 g (h_1 – h_2)\]\[v_1 = \sqrt{\frac{2 g (h_1 – h_2)}{15}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8 \cdot 0.75}{15}}\]\[v_1 = 0.99 \, \text{m/s}\]