Temperatura final de la cèl·lula

Sia una cèl·lula esfèrica de radi 10 μm en la que tot l’ATP (6,0 mM) se hidrolitza al unison en ADP i fosfat inorgànic. Si tota l’energia alliberada en la reacció (7,3 kcal·mol⁻¹) es dissipa en calor, calcular la temperatura final de la cèl·lula, suposant que el seu interior és aigua i la seva temperatura inicial és de 37,0°C.

Per calcular la temperatura final de la cèl·lula, seguim aquests passos:

1. Càlcul del volum de la cèl·lula. La cèl·lula és esfèrica amb un radi de 10 μm. Primer, convertim el radi a metres:

• \( r = 10 \, \mu\text{m} = 10 \times 10^{-6} \, \text{m} = 10^{-5} \, \text{m} \). El volum d’una esfera es calcula amb la fórmula:

• \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).Substituïm:\( V = \frac{4}{3} \pi (10^{-5})^3 = \frac{4}{3} \pi (10^{-15}) \, \text{m}^3 \).

Com que la concentració d’ATP es dóna en moles per litre, convertim el volum a litres (sabent que \( 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{l} \)):

• \( V = \frac{4}{3} \pi (10^{-15}) \times 1000 = \frac{4}{3} \pi (10^{-12}) \, \text{litres} \).
• Aproximem:
• \( \frac{4}{3} \pi \approx 4,1888 \),
• \( V \approx 4,1888 \times 10^{-12} \, \text{litres} \).

2. Quantitat total d’ATP. La concentració d’ATP és \( 6,0 \, \text{mM} = 6,0 \times 10^{-3} \, \text{mol/l} \).La quantitat d’ATP (\( n_{\text{ATP}} \)) es calcula com:

• \( n_{\text{ATP}} = \text{concentració} \times \text{volum} \),

• \( n_{\text{ATP}} = (6,0 \times 10^{-3} \, \text{mol/l}) \times (4,1888 \times 10^{-12} \, \text{l}) \),

• \( n_{\text{ATP}} \approx 2,5133 \times 10^{-14} \, \text{mol} \).

3. Energia alliberada. L’energia alliberada per mol d’ATP hidrolitzat és \( 7,3 \, \text{kcal/mol} \). L’energia total (\( E_{\text{total}} \)) és:

• \( E_{\text{total}} = n_{\text{ATP}} \times 7,3 \, \text{kcal/mol} \),

• \( E_{\text{total}} = (2,5133 \times 10^{-14} \, \text{mol}) \times (7,3 \, \text{kcal/mol}) \),

• \( E_{\text{total}} \approx 1,8347 \times 10^{-13} \, \text{kcal} \).

4. Massa d’aigua a la cèl·lula. La densitat de l’aigua és \( 1000 \, \text{kg/m}^3 \). La massa (\( m \)) es calcula com:

• \( m = \text{densitat} \times \text{volum} \),

• \( m = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (4,1888 \times 10^{-15} \, \text{m}^3) \),

• \( m \approx 4,1888 \times 10^{-12} \, \text{kg} \).

5. Increment de temperatura. La calor específica de l’aigua és \( 1 \, \text{kcal/kg·°C} \). L’increment de temperatura (\( \Delta T \)) es calcula amb:

• \( E_{\text{total}} = m \times c \times \Delta T \),

• \( \Delta T = \frac{E_{\text{total}}}{m \times c} \),

• \( \Delta T = \frac{1,8347 \times 10^{-13} \, \text{kcal}}{(4,1888 \times 10^{-12} \, \text{kg}) \times (1 \, \text{kcal/kg·°C})} \),

• \( \Delta T \approx 0,0438 \, °\text{C} \).

6. Temperatura final. La temperatura inicial és \( 37,0 \, °\text{C} \). La temperatura final (\( T_{\text{final}} \)) és:

• \( T_{\text{final}} = T_{\text{inicial}} + \Delta T \),

• \( T_{\text{final}} = 37,0 \, °\text{C} + 0,0438 \, °\text{C} \approx 37,0438 \, °\text{C} \).

Com que l’increment és molt petit, arrodonint a una dècima, la temperatura final és:

• \( T_{\text{final}} \approx 37,0 \, °\text{C} \).

Resposta final. La temperatura final de la cèl·lula, suposant que tot l’ATP s’hidrolitza i l’energia es dissipa en calor, és aproximadament 37,0 °C.