Càlcul del radi d’una gota d’aigua

Quin és el radi d’una gota d’aigua que cau en l’aire a $20^{\circ}$C, amb un nombre de Reynolds igual a $0,15$?

Dades:

• Viscositat de l’aire: \( 2 \times 10^{-4} \, \text{poise} \)

• Densitat de l’aire: \( 1,2 \, \text{kg/m}^3 \)

• Densitat de l’aigua: \( 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)

Pas 1: Convertir la viscositat a unitats del SI. La viscositat en poise es converteix a Pa·s (1 poise = \( 0,1 \, \text{Pa·s} \)):\[\mu = 2 \times 10^{-4} \times 0,1 = 2 \times 10^{-5} \, \text{Pa·s}\]

Pas 2: Nombre de Reynolds en funció del radi. El nombre de Reynolds per a una esfera és:\[\text{Re} = \frac{\rho_{\text{aire}} \cdot v \cdot d}{\mu}\]Com que \( d = 2r \), substituïm:\[0,15 = \frac{1,2 \cdot v \cdot (2r)}{2 \times 10^{-5}} = 1,2 \times 10^5 \cdot v \cdot r\]Aïllem \( v \cdot r \):\[v \cdot r = \frac{0,15}{1,2 \times 10^5} = 1,25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\]

Pas 3: Velocitat terminal amb la llei de Stokes. La velocitat terminal \( v \) segons la llei de Stokes és:\[v = \frac{g \cdot (\rho_{\text{aigua}} – \rho_{\text{aire}}) \cdot (2r)^2}{18 \cdot \mu}\]Aproximem \( \rho_{\text{aigua}} – \rho_{\text{aire}} \approx 1000 \, \text{kg/m}^3 \), amb \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \):\[v = \frac{9,81 \cdot 1000 \cdot 4r^2}{18 \cdot (2 \times 10^{-5})} = 1,09 \times 10^8 \cdot r^2\]

Pas 4: Substituir \( v \) a l’equació del nombre de Reynolds. Substituint \( v = 1,09 \times 10^8 \cdot r^2 \):\[(1,09 \times 10^8 \cdot r^2) \cdot r = 1,25 \times 10^{-6}\]\[r^3 = \frac{1,25 \times 10^{-6}}{1,09 \times 10^8} = 1,147 \times 10^{-14} \, \text{m}^3\]

Pas 5: Calcular \( r \) \[r = (1,147 \times 10^{-14})^{1/3} \approx 2,255 \times 10^{-5} \, \text{m}\]En mil·límetres:\[r = 2,255 \times 10^{-5} \times 1000 = 0,02255 \, \text{mm}\]

Resposta final. El radi de la gota d’aigua és d’aproximadament 0,0226 mm (o 22,6 µm).