Successos independents: Llançament de daus

Es llança un dau de sis cares dues vegades consecutives. Calcula: a) La probabilitat d’obtenir un 6 en ambdós llançaments. b) La probabilitat d’obtenir almenys un 4 en els dos llançaments.

(a) Probabilitat d’obtenir un 6 en ambdós llançaments

Aquest apartat demana la probabilitat que en cada llançament s’obtingui un 6, és a dir, l’esdeveniment $A \cap B$, on:

• $A$: Obtenir un 6 en el primer llançament.
• $B$: Obtenir un 6 en el segon llançament.

Com que els llançaments són independents, la probabilitat de l’intersecció és:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$

• Probabilitat d’obtenir un 6 en un llançament: Hi ha 1 resultat favorable (el 6) de 6 possibles.
  $$P(\text{6}) = \frac{1}{6}.$$
• Com que els llançaments són independents:
  $$P(\text{6 en ambdós}) = P(\text{6 en el primer}) \cdot P(\text{6 en el segon}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.$$

Alternativa per verificació: L’espai mostral té 36 resultats (parelles $(i, j)$, on $i, j = 1, 2, \ldots, 6$). Només hi ha un resultat favorable: $(6, 6)$. Per tant:
$$P(\text{6, 6}) = \frac{1}{36}.$$

Resposta: $P(\text{6 en ambdós}) = \frac{1}{36} \approx 0,0278$.

(b) Probabilitat d’obtenir almenys un 4 en els dos llançaments

Aquest apartat demana la probabilitat que almenys un dels dos llançaments resulti en un 4, és a dir, l’esdeveniment $A \cup B$, on:

• $A$: Obtenir un 4 en el primer llançament.
• $B$: Obtenir un 4 en el segon llançament.

Aquest esdeveniment inclou els casos: (4 en el primer, no 4 en el segon), (no 4 en el primer, 4 en el segon), o (4 en ambdós). Com que els esdeveniments no són mutuament excloents, utilitzem la regla de la suma:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B).$$

• Probabilitat d’obtenir un 4 en el primer llançament:
  $$P(A) = \frac{1}{6}.$$
• Probabilitat d’obtenir un 4 en el segon llançament:
  $$P(B) = \frac{1}{6}.$$
• Probabilitat d’obtenir un 4 en ambdós llançaments: Com que són independents:
  $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.$$

Ara calculem:
$$P(\text{almenys un 4}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} – \frac{1}{36}.$$

Amb denominador comú 36:
$$\frac{1}{6} = \frac{6}{36}, \quad \frac{1}{6} = \frac{6}{36}, \quad \frac{1}{36} = \frac{1}{36}.$$
$$P(\text{almenys un 4}) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} – \frac{1}{36} = \frac{6 + 6 – 1}{36} = \frac{11}{36}.$$

Alternativa per complement: Calculem la probabilitat del complement, és a dir, que cap llançament sigui un 4:

• Probabilitat de no obtenir un 4 en un llançament: ( \frac{5}{6} ) (ja que hi ha 5 resultats no-4: 1, 2, 3, 5, 6).
• Probabilitat de no obtenir un 4 en ambdós llançaments:
  $$P(\text{no 4 en ambdós}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}.$$
• Probabilitat d’obtenir almenys un 4:
  $$P(\text{almenys un 4}) = 1 – P(\text{no 4 en ambdós}) = 1 – \frac{25}{36} = \frac{36 – 25}{36} = \frac{11}{36}.$$

Aquest càlcul confirma el resultat.

Resposta: $P(\text{almenys un 4}) = \frac{11}{36} \approx 0,3056$.

Respostes finals

$$\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(a)} & \dfrac{1}{36} \approx 0,0278 \\
\text{(b)} & \dfrac{11}{36} \approx 0,3056
\end{array}
}$$