Successos incompatibles: Selecció d’estudiants

En un grup de $30$ estudiants, $18$ estudien matemàtiques, $12$ estudien física, i cap estudia ambdues matèries. Si es selecciona un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que estudii matemàtiques o física?

Espai mostral: Hi ha 30 estudiants, de manera que l’espai mostral té ( |\Omega| = 30 ) resultats possibles, assumint que cada estudiant té la mateixa probabilitat de ser seleccionat.

Definim els esdeveniments:

• $A$: L’estudiant estudia matemàtiques. Hi ha 18 estudiants que estudien matemàtiques, per tant:
  $$P(A) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}.$$
• $B$: L’estudiant estudia física. Hi ha 12 estudiants que estudien física, per tant:
  $$P(B) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}.$$
• Com que cap estudiant estudia ambdues matèries, els esdeveniments $A$ i $B$ són incompatibles (o mutuament excloents), és a dir:
  $$A \cap B = \emptyset \quad \text{i} \quad P(A \cap B) = 0.$$

El problema demana la probabilitat que l’estudiant estudii matemàtiques o física, és a dir, $P(A \cup B)$. Per a successos incompatibles, la regla de la suma és:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$

Substituïm els valors:
$$P(\text{matemàtiques} \cup \text{física}) = \frac{18}{30} + \frac{12}{30} = \frac{18 + 12}{30} = \frac{30}{30} = 1.$$

Aquest resultat sembla inusual, ja que una probabilitat d’1 implica que tots els estudiants estudien matemàtiques o física. Analitzem-ho per verificar:

• Hi ha 18 estudiants que estudien matemàtiques i 12 que estudien física, i cap estudia ambdues. Per tant, el nombre total d’estudiants que estudien almenys una de les dues matèries és:
  $$18 + 12 = 30.$$
• Com que hi ha exactament 30 estudiants en total, tots els estudiants del grup estudien matemàtiques o física, la qual cosa explica per què la probabilitat és 1.

Alternativa per verificació: Podem considerar el complement de l’esdeveniment, és a dir, la probabilitat que un estudiant no estudiï ni matemàtiques ni física:

• Estudiants que no estudien ni matemàtiques ni física: Com que $18 + 12 = 30$, no hi ha cap estudiant que no estudiï almenys una de les dues matèries.
• Per tant, el nombre d’estudiants en el complement és 0, i la probabilitat del complement és:
  $$P(\text{ni matemàtiques ni física}) = \frac{0}{30} = 0.$$
• La probabilitat de l’esdeveniment desitjat és:
  $$P(\text{matemàtiques} \cup \text{física}) = 1 – P(\text{ni matemàtiques ni física}) = 1 – 0 = 1.$$

Aquest càlcul confirma que la probabilitat és 1, ja que tots els estudiants estan coberts pels dos esdeveniments.

Resposta final

$$\boxed{1}$$