Probabilitat condicionada: Bossa de boles

Una bossa conté $4$ boles vermelles, $3$ blaves i $2$ verdes. Es treuen dues boles sense reposició. Calcula: a) La probabilitat que la segona bola sigui vermella, donat que la primera és blava. b) La probabilitat que ambdues boles siguin del mateix color.

(a) Probabilitat que la segona bola sigui vermella, donat que la primera és blava

Aquest apartat demana $P(\text{vermella}_2 | \text{blava}_1)$, la probabilitat que la segona bola sigui vermella donat que la primera bola extreta és blava. Com que no hi ha reposició, el fet de treure una bola blava modifica l’espai mostral per a la segona extracció.

• Espai mostral inicial: 9 boles (4 vermelles, 3 blaves, 2 verdes).
• Probabilitat que la primera bola sigui blava ($P(\text{blava}_1)$):
  $$P(\text{blava}_1) = \frac{\text{Nombre de boles blaves}}{\text{Total de boles}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$$
• Espai mostral després de treure una bola blava: Queden $9 – 1 = 8$ boles, amb:
• 4 vermelles (no s’ha tocat cap vermella).
• 2 blaves (3 – 1 = 2).
• 2 verdes (no s’ha tocat cap verda).
• Probabilitat que la segona bola sigui vermella, donat que la primera és blava:
  $$P(\text{vermella}_2 | \text{blava}_1) = \frac{\text{Nombre de boles vermelles restants}}{\text{Total de boles restants}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

Resposta: $P(\text{vermella}_2 | \text{blava}_1) = \frac{1}{2} = 0,5$.

(b) Probabilitat que ambdues boles siguin del mateix color

Aquest apartat demana la probabilitat que les dues boles extretes siguin del mateix color, és a dir, o totes dues vermelles, o totes dues blaves, o totes dues verdes. Com que aquests esdeveniments són mutuament excloents (no es pot tenir, per exemple, dues vermelles i dues blaves alhora), la probabilitat total és la suma de les probabilitats de cada cas:
$$P(\text{mateix color}) = P(\text{dos vermelles}) + P(\text{dos blaves}) + P(\text{dos verdes}).$$

Utilitzem un diagrama d’arbre implícit per calcular cada cas, tenint en compte que no hi ha reposició.

• Cas 1: Dues boles vermelles
• Probabilitat que la primera bola sigui vermella:
  $$P(\text{vermella}_1) = \frac{4}{9}.$$
• Probabilitat que la segona bola sigui vermella, donat que la primera és vermella (queden 3 vermelles de 8 boles):
  $$P(\text{vermella}_2 | \text{vermella}_1) = \frac{3}{8}.$$
• Probabilitat conjunta:
  $$P(\text{dos vermelles}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}.$$
• Cas 2: Dues boles blaves
• Probabilitat que la primera bola sigui blava:
  $$P(\text{blava}_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$$
• Probabilitat que la segona bola sigui blava, donat que la primera és blava (queden 2 blaves de 8 boles):
  $$P(\text{blava}_2 | \text{blava}_1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$$
• Probabilitat conjunta:
  $$P(\text{dos blaves}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.$$
• Cas 3: Dues boles verdes
• Probabilitat que la primera bola sigui verda:
  $$P(\text{verda}_1) = \frac{2}{9}.$$
• Probabilitat que la segona bola sigui verda, donat que la primera és verda (queden 1 verda de 8 boles):
  $$P(\text{verda}_2 | \text{verda}_1) = \frac{1}{8}.$$
• Probabilitat conjunta:
  $$P(\text{dos verdes}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}.$$
• Probabilitat total:
  $$P(\text{mateix color}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{36}.$$

Amb denominador comú 36:
$$\frac{1}{6} = \frac{6}{36}, \quad \frac{1}{12} = \frac{3}{36}, \quad \frac{1}{36} = \frac{1}{36}.$$
$$P(\text{mateix color}) = \frac{6 + 3 + 1}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.$$

Alternativa per verificació: Podem calcular el nombre de resultats favorables utilitzant combinacions, ja que l’ordre no importa (treure vermella i després blava és diferent de blava i després vermella, però aquí només ens interessa el color final). El nombre total de maneres de triar 2 boles de 9 és:
$$\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36.$$

• Maneres de triar 2 boles vermelles (de 4 vermelles):
  $$\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6.$$
• Maneres de triar 2 boles blaves (de 3 blaves):
  $$\binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3.$$
• Maneres de triar 2 boles verdes (de 2 verdes):
  $$\binom{2}{2} = 1.$$

Total de casos favorables: $6 + 3 + 1 = 10$.

Probabilitat:
$$P(\text{mateix color}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totals}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.$$

Aquest càlcul confirma el resultat.

Respostes finals

$$\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(a)} & \dfrac{1}{2} = 0,5 \\
\text{(b)} & \dfrac{5}{18} \approx 0,2778
\end{array}
}$$