Problema del 2024, juny, sèrie 1. Selectivitat Física Catalunya

L’Ainhoa està intrigada per saber a quina altura exploten els coets llançats a la revetlla de Sant Joan. Per determinar-ho, se situa a $50$ metres del punt on es llancen els coets i enregistra, amb un sonòmetre, un nivell d’intensitat sonora de $100$ decibels en l’explosió d’un coet que no s’ha enlairat. a) Quina potència sonora emet el coet en el moment de l’explosió? Si l’explosió ha durat $0,03$ s, quina energia sonora s’ha alliberat? b) Des de la mateixa distància al punt de llançament, enregistra $90$ decibels d’intensitat sonora en el cas d’un coet igual a l’anterior que s’ha enlairat verticalment i ha explotat a certa altura. Calculeu a quina altura ha explotat el coet. Si dos coets idèntics a l’anterior exploten simultàniament a la mateixa altura que abans, quin nivell d’intensitat sonora percebrà l’Ainhoa, si està situada a la mateixa posició d’abans?

NOTA:

Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l’espai i la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques.

DADES:
$I_0 = 10^{-12} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2}$
La velocitat del so en l’aire és de 340 m/s.
Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

$\textbf{a)}$ A partir del nivell d’intensitat sonora obtenim la intensitat de l’ona:

\[\beta = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right), \quad 100 = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\]

\[I = 10^{10} \cdot 10^{-12} = 10^{-2} \, \text{W/m}^2\]

La potència emesa pel petard suposant que el so es reparteix en una superfície esfèrica:

\[P = I \cdot 4\pi r^2 = 10^{-2} \cdot 4\pi \cdot 50^2 = 314,16 \, \text{W}\]

L’energia sonora alliberada:

\[E = P \cdot t = 314,16 \cdot 0,03 = 9,42 \, \text{J}\]

$\textbf{b)}$

A partir del nivell d’intensitat sonora obtenim la intensitat de l’ona:

\[\beta = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right), \quad 90 = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\]

\[I = 10^9 \cdot 10^{-12} = 10^{-3} \, \text{W/m}^2\]

$\textbf{Càlcul de l’alçada:}$

Els coets són iguals i, per tant, la potència emesa també. Es reparteix en una superfície esfèrica i obtenim la distància a la qual es trobava el petard utilitzant la mateixa relació:

\[P = I \cdot 4\pi r^2, \quad r^2 = \frac{P}{4\pi \cdot I} = \frac{314,16}{4\pi \cdot 10^{-3}} = 25000 \, \text{m}^2\]

\[r = \sqrt{25000} \approx 158,11 \, \text{m}\]

Utilitzant el teorema de Pitàgores obtenim l’alçada a la qual esclata el coet:

\[h = \sqrt{158,11^2 – 50^2} \approx 150 \, \text{m}\]

${O alternativament:}$

Els coets són iguals i, per tant, la potència emesa també. Es reparteix en una superfície esfèrica i, per tant, entre les intensitats i les distàncies hi ha la relació:

\[\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}, \quad \frac{10^{-3}}{10^{-2}} = \frac{50^2}{h^2 + 50^2}\]

\[0,1 = \frac{50^2}{h^2 + 50^2}, \quad h^2 + 50^2 = 10 \cdot 50^2\]

\[h^2 = 9 \cdot 50^2, \quad h = 3 \cdot 50 = 150 \, \text{m}\]

La intensitat sonora generada per dos coets pot ser calculada sabent que la potència i la intensitat del so es doblaran. Per tant:

\[\beta = 10 \cdot \log\left(\frac{2 \cdot 10^{-3}}{10^{-12}}\right) \approx 93 \, \text{dB}\]