Llei de Laplace: Baralla de cartes

En una baralla estàndard de 52 cartes, es treu una carta a l’atzar. Calcula: a) La probabilitat que la carta sigui un as. b) La probabilitat que la carta sigui de piques o un rei. c) La probabilitat que la carta no sigui ni un as ni de cors.

Espai mostral: Una baralla estàndard té 52 cartes, amb 4 pals (piques, cors, trèbols, diamants) i 13 rangs per pal (as, 2, 3, …, 10, jota, reina, rei). Per tant, $|\Omega| = 52$.

(a) Probabilitat que la carta sigui un as

Hi ha 4 asos en la baralla (un per cada pal: as de piques, cors, trèbols i diamants).

• Casos favorables: 4 (els asos).
• Casos totals: 52.

Segons la llei de Laplace:
$$P(\text{as}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totals}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}.$$

Resposta: $P(\text{as}) = \frac{1}{13} \approx 0,0769$.

(b) Probabilitat que la carta sigui de piques o un rei

Aquest apartat implica calcular la probabilitat de l’esdeveniment $A \cup B$, on:

• $A$: La carta és de piques.
• $B$: La carta és un rei.

Com que els esdeveniments no són mutuament excloents (l’as de piques és alhora de piques i un as, però aquí busquem reis), hem d’utilitzar la regla de la suma:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B).$$

• Probabilitat de piques ($P(A)$): Hi ha $13$ cartes de piques (una per cada rang).
  $$P(\text{piques}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}.$$
• Probabilitat de rei ($P(B)$): Hi ha $4$ reis (un per cada pal).
  $$P(\text{rei}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}.$$
• Probabilitat de piques i rei ($P(A \cap B)$): Només hi ha una carta que és un rei de piques.
  $$P(\text{piques} \cap \text{rei}) = \frac{1}{52}.$$

Ara apliquem la fórmula:
$$P(\text{piques} \cup \text{rei}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} – \frac{1}{52}.$$

Per sumar, fem un denominador comú (52):
$$\frac{1}{4} = \frac{13}{52}, \quad \frac{1}{13} = \frac{4}{52}, \quad \frac{1}{52} = \frac{1}{52}.$$
$$P(\text{piques} \cup \text{rei}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} – \frac{1}{52} = \frac{13 + 4 – 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.$$

Resposta: $P(\text{piques} \cup \text{rei}) = \frac{4}{13} \approx 0,3077$.

(c) Probabilitat que la carta no sigui ni un as ni de cors

Aquest apartat requereix calcular la probabilitat de l’esdeveniment complementari de $A \cup B$, on:

• $A$: La carta és un as.
• $B$: La carta és de cors.

L’esdeveniment “no ser ni un as ni de cors” és el complement de “ser un as o ser de cors”:
$$P(\text{no as ni cors}) = 1 – P(\text{as} \cup \text{cors}).$$

Calculem $P(\text{as} \cup \text{cors})$:

• Probabilitat d’as ($P(A)$): Ja hem calculat que $P(\text{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
• Probabilitat de cors ($P(B)$): Hi ha 13 cartes de cors.
  $$P(\text{cors}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}.$$
• Probabilitat d’as i cors ($P(A \cap B)$): Només hi ha una carta que és l’as de cors.
  $$P(\text{as} \cap \text{cors}) = \frac{1}{52}.$$

Apliquem la regla de la suma:
$$P(\text{as} \cup \text{cors}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52} = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{4 + 13 – 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.$$

Ara calculem el complement:
$$P(\text{no as ni cors}) = 1 – \frac{4}{13} = \frac{13 – 4}{13} = \frac{9}{13}.$$

Resposta: $P(\text{no as ni cors}) = \frac{9}{13} \approx 0,6923$.

Respostes finals

$$\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(a)} & \dfrac{1}{13} \approx 0,0769 \\
\text{(b)} & \dfrac{4}{13} \approx 0,3077 \\
\text{(c)} & \dfrac{9}{13} \approx 0,6923
\end{array}
}$$