Sòlid rígid. Impacte projectil

Un projectil de $5$ g es mou amb una velocitat de $100$ m/s cap a una protuberància d’una roda muntada sobre un eix fix. La col·lisió és totalment inelàstica. El radi de la roda, $r$, val $20$ cm, i el seu moment d’inèrcia, $I = 2,0\cdot10^{-2}\ \text{kg m}^2$. Trobeu la velocitat angular després de l’impacte i l’energia perduda en la col·lisió. Calculeu també el valor de l’impuls transmès per l’eix sobre la roda en l’instant de l’impacte.

Col·lisió inelàstica d’un projectil amb una roda

Dades del problema

• Massa del projectil:\begin{equation}m = 5.0 \text{ g} = 0.005 \text{ kg}\end{equation}
• Velocitat inicial del projectil:\begin{equation}v = 100 \text{ m/s}\end{equation}
• Radi de la roda:\begin{equation}r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\end{equation}
• Moment d’inèrcia de la roda:\begin{equation}I = 2.0 \times 10^{-2} \text{ kg·m}^2\end{equation}

a) Velocitat angular després de l’impacte

El moment angular inicial respecte al centre de la roda és:

\begin{equation}
L_i = m v r
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
L_i = (0.005)(100)(0.2) = 0.1 \text{ kg·m}^2/\text{s}
\end{equation}

Després de la col·lisió, el moment angular final del sistema és:

\begin{equation}
L_f = I \omega_f + m r^2 \omega_f
\end{equation}

Com que es conserva el moment angular:

\begin{equation}
L_i = L_f
\end{equation}

\begin{equation}
0.1 = \left( 2.0 \times 10^{-2} + (0.005)(0.2)^2 \right) \omega_f
\end{equation}

\begin{equation}
0.1 = (2.02 \times 10^{-2}) \omega_f
\end{equation}

\begin{equation}
\omega_f = \frac{0.1}{2.02 \times 10^{-2}} = 4.95 \text{ rad/s}
\end{equation}

b) Energia perduda en la col·lisió

L’energia cinètica inicial del projectil és:

\begin{equation}
K_i = \frac{1}{2} m v^2
\end{equation}

\begin{equation}
K_i = \frac{1}{2} (0.005)(100)^2 = 25 \text{ J}
\end{equation}

L’energia cinètica final del sistema després de la col·lisió és:

\begin{equation}
K_f = \frac{1}{2} I \omega_f^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega_f^2
\end{equation}

\begin{equation}
K_f = \frac{1}{2} \left( 2.0 \times 10^{-2} + (0.005)(0.2)^2 \right) (4.95)^2
\end{equation}

\begin{equation}
K_f = \frac{1}{2} (2.02 \times 10^{-2}) (24.5) = 0.247 \text{ J}
\end{equation}

L’energia perduda és:

\begin{equation}
\Delta K = K_i – K_f
\end{equation}

\begin{equation}
\Delta K = 25 – 0.247 = 24.75 \text{ J}
\end{equation}

c) Impuls transmès per l’eix sobre la roda

L’impuls inicial del projectil és:

\begin{equation}
p_i = m v
\end{equation}

\begin{equation}
p_i = (0.005)(100) = 0.5 \text{ kg·m/s}
\end{equation}

Com que l’eix ha d’exercir un impuls igual i oposat per evitar el moviment de translació del centre de massa, l’impuls transmès per l’eix és:

\begin{equation}
p_{\text{eix}} = 0.5 \text{ kg·m/s}
\end{equation}

Resultats finals

• Velocitat angular després de l’impacte:\begin{equation}\boxed{\omega_f = 4.95 \text{ rad/s}}\end{equation}
• Energia perduda en la col·lisió:\begin{equation}\boxed{\Delta K = 24.75 \text{ J}}\end{equation}
• Impuls transmès per l’eix sobre la roda:\begin{equation} \boxed{0.5 \text{ kg·m/s}}\end{equation}